Matematică

Numere naturale și divizibilitate — Subiectul III. 2

greuEvaluare Națională 2025 · Varianta 7

Numere naturale și divizibilitateNumere reale și radicaliCalcul algebric

Se consideră expresia

E (x) = (\frac{2}{x - 3} - \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 3}) : \frac{1}{x ^{2} - 3 x}

, unde

x

este număr real,

x \neq = - 3

x \neq = 0

și

x \neq = 3

a)
Arată că $\frac{2}{x - 3} - \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 3} = \frac{x ^{2} + 27}{x ( x - 3 ) ( x + 3 )}$ , pentru orice număr real $x$ , $x \neq = - 3$ , $x \neq = 0$ și $x \neq = 3$ .
b)
Demonstrează că $E (n) > 6$ , pentru orice număr natural $n$ , $n \neq = 0$ , $n \neq = 3$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a aduna sau scădea fracții, este necesar să le aduci la un numitor comun.
a)
Determină cel mai mic multiplu comun al numitorilor $x - 3$ , $x$ și $x + 3$ .
a)
Amplifică fiecare fracție cu factorul corespunzător pentru a obține numitorul comun $x (x - 3) (x + 3)$ , apoi efectuează operațiile de la numărător.
b)
Începe prin a simplifica expresia $E (x)$ folosind rezultatul obținut la subpunctul a) și proprietățile operațiilor cu fracții algebrice.
b)
Reține că împărțirea la o fracție este echivalentă cu înmulțirea cu inversa acelei fracții, și factorizează numitorul $x^{2} - 3 x$ .
b)
După ce ai simplificat $E (x)$ la forma $\frac{x ^{2} + 27}{x + 3}$ , înlocuiește $x$ cu $n$ și demonstrează inegalitatea $\frac{n ^{2} + 27}{n + 3} > 6$ pentru $n \in N$ , $n \neq = 0, n \neq = 3$ . Poți aduce inegalitatea la o formă echivalentă, de exemplu, $\frac{( n - 3 ) ^{2}}{n + 3} > 0$ .