Matematică

Numere naturale și divizibilitate — Subiectul III. 2

greuEvaluare Națională 2021 · Varianta Test 13

Numere naturale și divizibilitateNumere reale și radicaliCalcul algebric

Se consideră expresia

E (x) = (2 x + 1)^{2} + (2 x - 1)^{2} - 4 (2 x^{2} - 1)

, unde

x

este număr real.

a)
Calculează $E (10)$ .
b)
Determină cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $n \cdot E (10) \cdot E (11) \cdot \dots \cdot E (100)$ este pătratul unui număr natural.

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula $E (10)$ , trebuie să înlocuiești valoarea $x = 10$ în expresia dată $E (x)$ .
a)
Substituie $x = 10$ în fiecare termen al expresiei: $(2 x + 1)^{2}$ , $(2 x - 1)^{2}$ și $4 (2 x^{2} - 1)$ .
a)
Calculează $(2 \cdot 10 + 1)^{2}$ , $(2 \cdot 10 - 1)^{2}$ și $4 (2 \cdot 1 0^{2} - 1)$ , apoi efectuează operațiile de adunare și scădere.
b)
Începe prin a simplifica expresia $E (x)$ la o formă mai simplă, dezvoltând termenii și reducând pe cei asemenea.
b)
Folosește formulele de calcul prescurtat $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ și $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ pentru a dezvolta $(2 x + 1)^{2}$ și $(2 x - 1)^{2}$ .
b)
După simplificarea lui $E (x)$ , vei observa că este o constantă. Folosește această constantă pentru a evalua produsul $E (10) \cdot E (11) \cdot \dots \cdot E (100)$ și apoi determină cel mai mic $n$ natural nenul care transformă produsul $n \cdot E (10) \cdot E (11) \cdot \dots \cdot E (100)$ într-un pătrat perfect.