Formule de matematică

Ce trebuie să ai în cap la examen, pe capitole. Fiecare capitol are dedesubt link către exercițiile lui din subiectele oficiale — formula fără exercițiu se uită până a doua zi.

Algebră

Subiectul I și II de la Bacalaureat.

Numere complexe

$i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , $i^{4} = 1$ — puterile lui $i$ se repetă din 4 în 4
Dacă $z = a + bi$ , atunci conjugatul este $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ și modulul $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$
$z \cdot \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$ , $z + \overset{z}{ˉ} = 2 a$ , $z - \overset{z}{ˉ} = 2 bi$
$∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣$ și $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}$
Împărțirea: amplifici cu conjugatul numitorului, $\frac{1}{a + bi} = \frac{a - bi}{a ^{2} + b ^{2}}$
Forma trigonometrică: $z = r (cos t + i sin t)$ , unde $r = ∣ z ∣$
Moivre: $z^{n} = r^{n} (cos n t + i sin n t)$
Ecuația de gradul II cu $Δ < 0$ : $x_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$

Exerciții de numere complexe →

Ecuații, inecuații și funcția de gradul II

Gradul I: $a x + b = 0$ are soluția $x = - \frac{b}{a}$ , pentru $a \neq = 0$
Sisteme: metoda substituției sau a reducerii; soluția e perechea care verifică ambele ecuații
$Δ = b^{2} - 4 a c$ și $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
Viète: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
Descompunere: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
Vârful parabolei: $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$
Semnul: $a x^{2} + b x + c$ are semnul lui $a$ în afara rădăcinilor și semn contrar între ele
Dacă $Δ < 0$ , expresia păstrează semnul lui $a$ pe tot $R$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$
$∣ x ∣ < a ⟺ - a < x < a$ ; $∣ x ∣ > a ⟺ x < - a$ sau $x > a$

Exerciții de ecuații și inecuații →Exerciții de ecuații, inecuații și sisteme →

Șiruri și progresii

Aritmetică: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , iar $r = a_{n + 1} - a_{n}$
Suma: $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2}$
Trei termeni consecutivi: $a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$
Geometrică: $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ , iar $q = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$
Suma: $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ , pentru $q \neq = 1$
Trei termeni consecutivi: $b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}$

Exerciții de șiruri și progresii →

Logaritmi și exponențiale

$lo g_{a} x = y ⟺ a^{y} = x$ , cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $x > 0$
$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ și $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
$lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$
$lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ , $a^{l o g_{a} x} = x$
Schimbarea bazei: $lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}$
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ , $(a^{m})^{n} = a^{mn}$
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ și $a^{1/ n} = n a$

Exerciții de logaritmi și exponențiale →

Combinatorică și probabilități

$P_{n} = n!$ , cu $0! = 1$
Aranjamente: $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ — contează ordinea
Combinări: $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ — nu contează ordinea
$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ și $C_{n}^{k} + C_{n}^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$
Binomul lui Newton: $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$
Termenul general: $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$
$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$
Probabilitate: $P = \frac{cazuri favorabile}{cazuri posibile}$ , cu $P \in [0, 1]$

Exerciții de combinatorică și probabilități →

Matrice și sisteme

$det (a c b d) = a d - b c$
Pentru $3 \times 3$ : regula lui Sarrus (repeți primele două coloane)
$det (A \cdot B) = det A \cdot det B$ și $det (A^{t}) = det A$
$A$ inversabilă $⟺ det A \neq = 0$ , iar $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$
$(A B)^{t} = B^{t} A^{t}$ — atenție la ordine
Cramer: $x_{i} = \frac{Δ _{i}}{Δ}$ , valabil când $Δ \neq = 0$
Sistem compatibil determinat $⟺ Δ \neq = 0$
Înmulțirea nu e comutativă: în general $A B \neq = B A$

Exerciții de matrice și sisteme →

Structuri algebrice

Lege de compoziție pe $M$ : $x * y \in M$ pentru orice $x, y \in M$ (parte stabilă)
Asociativitate: $(x * y) * z = x * (y * z)$
Element neutru $e$ : $x * e = e * x = x$
Simetric: $x * x^{'} = x^{'} * x = e$
$(G, *)$ grup: asociativă, element neutru, orice element simetrizabil
Grup abelian: în plus $x * y = y * x$
Morfism: $f (x * y) = f (x) \circ f (y)$ ; izomorfism = morfism bijectiv
Truc frecvent: $x * y = x y - a (x + y) + b$ se scrie ca $(x - a) (y - a) + a$

Exerciții de structuri algebrice →

Polinoame

Împărțirea cu rest: $f = g \cdot q + r$ , cu $grad r < grad g$
Restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$
$a$ este rădăcină a lui $f ⟺ (X - a) ∣ f$
Viète pentru $a X^{3} + b X^{2} + c X + d$ : $\sum x_{i} = - \frac{b}{a}$ , $\sum x_{i} x_{j} = \frac{c}{a}$ , $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = (\sum x_{i})^{2} - 2 \sum x_{i} x_{j}$
Un polinom de grad $n$ are exact $n$ rădăcini complexe, numărate cu ordinul de multiplicitate

Exerciții de polinoame →

Funcții și grafice

Injectivă: $f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$
Surjectivă: orice $y$ din codomeniu are cel puțin o preimagine
Bijectivă = injectivă și surjectivă; doar atunci există $f^{- 1}$
$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ — se aplică întâi $g$
Pară: $f (- x) = f (x)$ , simetrică față de $O y$ . Impară: $f (- x) = - f (x)$ , simetrică față de origine
Graficul lui $f^{- 1}$ este simetricul graficului lui $f$ față de prima bisectoare

Exerciții de funcții și grafice →

Mulțimi

$A \cup B$ — tot ce e în cel puțin una. $A \cap B$ — ce e în amândouă
$A ∖ B$ — ce e în $A$ și nu e în $B$
$∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$
$A \subseteq B ⟺$ orice element din $A$ este și în $B$
O mulțime cu $n$ elemente are $2^{n}$ submulțimi
$N \subset Z \subset Q \subset R \subset C$

Exerciții de mulțimi →

Analiză matematică

Subiectul II și III de la profilul mate-info.

Limite și continuitate

$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ și $x \to 0 lim \frac{tg x}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$ și $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$
$n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e$
La $\pm \infty$ pentru o funcție rațională contează doar termenii de grad maxim
$f$ continuă în $x_{0}$ $⟺$ limitele laterale există, sunt egale și egale cu $f (x_{0})$
Nedeterminări: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \cdot \infty$ , $\infty - \infty$ , $1^{\infty}$
L'Hôpital, pentru $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ : $lim \frac{f}{g} = lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$
Asimptotă orizontală la $+ \infty$ : $x \to \infty lim f (x) = ℓ$ finit. Verticală în $a$ : o limită laterală e $\pm \infty$
Asimptotă oblică $y = m x + n$ : $m = lim \frac{f ( x )}{x}$ , $n = lim (f (x) - m x)$

Exerciții de limite și continuitate →

Derivate și funcții

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ , $(c)^{'} = 0$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ , $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
$(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$ , $(tg x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$
Produs: $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ . Cât: $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$
Compunere: $(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$
$f^{'} > 0$ pe un interval $\Rightarrow$ $f$ crescătoare; $f^{'} < 0$ $\Rightarrow$ descrescătoare
Fermat: într-un punct de extrem interior în care $f$ e derivabilă, $f^{'} (x_{0}) = 0$
Tangenta în $x_{0}$ : $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
$f^{''} > 0$ $\Rightarrow$ convexă; $f^{''} < 0$ $\Rightarrow$ concavă; schimbarea semnului dă punct de inflexiune

Exerciții de derivate și funcții →

Primitive și integrale

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ , pentru $n \neq = - 1$
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ , $\int sin x d x = - cos x + C$ , $\int cos x d x = sin x + C$
$\int \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$
Leibniz–Newton: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$
Prin părți: $\int_{a}^{b} f g^{'} d x = f g_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} g d x$
Orice funcție continuă pe un interval admite primitive
Aria dintre grafic și $O x$ : $A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$
Volumul corpului de rotație: $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

Exerciții de primitive și integrale →

Geometrie și trigonometrie

Se cer atât la Bacalaureat, cât și la Evaluarea Națională.

Trigonometrie

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$
$sin 2 x = 2 sin x cos x$ și $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x$
$sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$
$cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$
$sin (- x) = - sin x$ (impară), $cos (- x) = cos x$ (pară)
Valori uzuale: $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
Teorema sinusurilor: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$
Teorema cosinusului: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

Exerciții de trigonometrie →

Geometrie analitică

Distanța: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
Mijlocul lui $A B$ : $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
Panta: $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$
Dreapta prin $A$ de pantă $m$ : $y - y_{A} = m (x - x_{A})$
Paralele $⟺ m_{1} = m_{2}$ . Perpendiculare $⟺ m_{1} \cdot m_{2} = - 1$
Coliniaritate: $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare $⟺$ pantele $m_{A B}$ și $m_{A C}$ sunt egale
Aria: $A_{A B C} = \frac{1}{2} Δ$ , unde $Δ = x_{A} x_{B} x_{C} y_{A} y_{B} y_{C} 111$
Centrul de greutate: $G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}, \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$
Vectori: $u ∥ v ⟺ \exists λ$ cu $v = λ u$ ; $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$

Exerciții de geometrie analitică →

Geometrie plană

Aria triunghiului: $A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{ab sin C}{2}$
Heron: $A = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , cu $p = \frac{a + b + c}{2}$
$A = \frac{ab c}{4 R} = p \cdot r$
Triunghi echilateral de latură $ℓ$ : $A = \frac{ℓ ^{2} 3}{4}$ , $h = \frac{ℓ 3}{2}$
Cerc: $L = 2 π R$ , $A = π R^{2}$

Exerciții de geometrie plană →

Asemănare și teorema lui Pitagora

Pitagora: în triunghi dreptunghic, $ipotenuza^{2} = catet \overset{a}{˘}_{1}^{2} + catet \overset{a}{˘}_{2}^{2}$
Teorema catetei: $c^{2} = ipotenuza \cdot proiec ț ia catetei$
Teorema înălțimii: $h^{2} = proiec ț ia_{1} \cdot proiec ț ia_{2}$
Thales: o paralelă la o latură taie celelalte două laturi în segmente proporționale
În triunghiuri asemenea, raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare
În triunghi dreptunghic cu un unghi de $3 0^{\circ}$ , cateta opusă e jumătate din ipotenuză

Exerciții de asemănare și teorema lui pitagora →

Unghiuri și drepte

Unghiuri complementare: suma $9 0^{\circ}$ . Suplementare: suma $18 0^{\circ}$
Unghiurile opuse la vârf sunt congruente
Două paralele tăiate de o secantă: alterne interne congruente, interne de aceeași parte suplementare
Suma unghiurilor unui triunghi este $18 0^{\circ}$
Suma unghiurilor unui poligon cu $n$ laturi: $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$

Exerciții de unghiuri și drepte →

Triunghiul

Mediana unește vârful cu mijlocul laturii opuse; cele trei se intersectează în $G$ , la $\frac{2}{3}$ de vârf
Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente; se intersectează în centrul cercului înscris
Mediatoarea e perpendiculara prin mijlocul laturii; se intersectează în centrul cercului circumscris
Linia mijlocie este paralelă cu latura a treia și egală cu jumătate din ea
În triunghi dreptunghic, mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză
Inegalitatea triunghiului: fiecare latură e mai mică decât suma celorlalte două

Exerciții de triunghiul →

Patrulatere

Paralelogram: laturi opuse paralele și congruente, diagonalele se înjumătățesc
Dreptunghi: paralelogram cu un unghi drept; diagonalele sunt congruente
Romb: paralelogram cu toate laturile congruente; diagonalele sunt perpendiculare
Aria rombului: $A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$
Trapez: $A = \frac{( B + b ) \cdot h}{2}$ ; linia mijlocie $= \frac{B + b}{2}$
Pătrat de latură $ℓ$ : $A = ℓ^{2}$ , diagonala $= ℓ 2$

Exerciții de patrulatere →

Cercul

Unghiul la centru are măsura arcului cuprins
Unghiul înscris are jumătate din măsura arcului cuprins
Tangenta este perpendiculară pe rază în punctul de tangență
Lungimea arcului de $n^{\circ}$ : $ℓ = \frac{2 π R \cdot n}{360}$
Aria sectorului de $n^{\circ}$ : $A = \frac{π R ^{2} \cdot n}{360}$

Exerciții de cercul →

Corpuri geometrice

Prismă: $V = A_{b} \cdot h$ . Piramidă: $V = \frac{A _{b} \cdot h}{3}$
Cub de muchie $ℓ$ : $V = ℓ^{3}$ , $A_{t} = 6 ℓ^{2}$ , diagonala $= ℓ 3$
Cilindru: $V = π R^{2} h$ , $A_{l} = 2 π R h$
Con: $V = \frac{π R ^{2} h}{3}$ , $A_{l} = π R G$ , cu $G$ generatoarea
Sferă: $V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$ , $A = 4 π R^{2}$
Aria totală = aria laterală + ariile bazelor

Exerciții de corpuri geometrice →

Numere și calcul

Baza pentru Evaluarea Națională, utilă și la Bac.

Calcul prescurtat și radicali

$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (ab + b c + c a)$
$a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$
$a^{2} = ∣ a ∣$ — nu $a$
$a \cdot b = ab$ și $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ , pentru $a, b \geq 0$
Raționalizare: $\frac{1}{a} = \frac{a}{a}$ , iar $\frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{a - b}$

Exerciții de numere reale și radicali →Exerciții de calcul algebric →

Numere naturale și divizibilitate

Împărțirea cu rest: $D = \hat{I} \cdot C + R$ , cu $0 \leq R < \hat{I}$
Semne: $(-) \cdot (-) = (+)$ , $(+) \cdot (-) = (-)$ ; la fel la împărțire
$∣ a ∣$ este distanța până la $0$ , deci $∣ a ∣ \geq 0$ întotdeauna
Divizibil cu 2: ultima cifră pară. Cu 5: ultima cifră 0 sau 5
Divizibil cu 3 (sau 9): suma cifrelor se divide cu 3 (sau 9)
Divizibil cu 4: numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4
Un număr prim are exact doi divizori: 1 și el însuși
$c.m.m.d.c. (a, b) \cdot c.m.m.m.c. (a, b) = a \cdot b$

Exerciții de numere naturale și divizibilitate →Exerciții de numere întregi →

Fracții

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$ , iar $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
Amplificarea și simplificarea nu schimbă valoarea fracției
Fracție zecimală periodică: $0, (a) = \frac{a}{9}$ , iar $0, a (b) = \frac{ab - a}{90}$
Un număr rațional se scrie ca $\frac{a}{b}$ cu $a \in Z$ , $b \in Z^{*}$

Exerciții de numere raționale (fracții, procente) →Exerciții de numere raționale →

Procente și dobânzi

$p %$ din $x$ înseamnă $\frac{p}{100} \cdot x$
Creștere cu $p %$ : înmulțești cu $1 + \frac{p}{100}$ . Scădere: cu $1 - \frac{p}{100}$
Cât la sută din $a$ este $b$ : $\frac{b}{a} \cdot 100%$
O creștere cu $p %$ urmată de o scădere cu $p %$ nu te aduce înapoi la valoarea inițială
Dobândă compusă după $n$ ani: $S = S_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$

Exerciții de procente și dobânzi →

Organizarea datelor și medii

Media aritmetică a $n$ numere: $\frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$
Media ponderată: $\frac{\sum x _{i} p _{i}}{\sum p _{i}}$ , unde $p_{i}$ sunt ponderile
Media geometrică a două numere pozitive: $ab$
Într-o diagramă circulară, un procent de $p %$ ocupă un unghi de $\frac{p \cdot 36 0 ^{\circ}}{100}$
Probabilitatea unui eveniment: $\frac{cazuri favorabile}{cazuri posibile}$

Exerciții de organizarea datelor și medii →

Lista acoperă formulele cerute frecvent în subiecte, nu întreaga programă. Pentru conținutul oficial, vezi programa de examen a Ministerului Educației.