Matematică

Unghiuri și drepte, Subiectul III. 4

greuEvaluare Națională 2024 · Varianta Februarie

Unghiuri și drepteTriunghiulPatrulatere

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic

A B C

, cu

∢ A = 9 0^{\circ}

și

∢ B = 4 0^{\circ}

. Semidreapta

B E

este bisectoarea unghiului

A B C

, punctul

E

aparține segmentului

A C

. Perpendiculara din punctul

A

B C

intersectează dreapta

B C

în punctul

D

, iar perpendiculara din punctul

E

B C

intersectează dreapta

B C

în punctul

F

. Dreptele

B E

și

A D

se intersectează în punctul

M

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începe prin a calcula măsura unghiului $∠ C$ în triunghiul dreptunghic $△ A B C$ și apoi folosește proprietatea bisectoarei $B E$ pentru a determina măsura unghiului $∠ E B C$ .
a)
Concentrează-te pe triunghiul dreptunghic $△ A B D$ . Calculează măsura unghiului $∠ B A D$ știind că $A D ⊥ B C$ .
a)
Acum, privește triunghiul $△ B D M$ . Folosește suma unghiurilor într-un triunghi pentru a găsi măsura unghiului $∠ B M D$ . Unghiul $∠ E M A$ este unghi opus la vârf cu $∠ B M D$ .
b)
Pentru a arăta că un patrulater este romb, poți demonstra că este un paralelogram cu două laturi adiacente egale sau că toate laturile sunt egale. Începe prin a identifica perechi de laturi paralele în patrulaterul $A M F E$ .
b)
Calculează măsura unghiului $∠ A E B$ în triunghiul $△ A B E$ . Folosind rezultatul de la subpunctul a), $∠ E M A = 7 0^{\circ}$ , determină natura triunghiului $△ A E M$ .
b)
Punctul $E$ se află pe bisectoarea unghiului $∠ A B C$ . Folosește proprietatea bisectoarei unui unghi, conform căreia orice punct de pe bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului, pentru a stabili o relație între lungimile segmentelor $E A$ și $E F$ .

Patrulatere, din alte variante, de la ușor la greu.