Matematică

Unghiuri și drepte — Subiectul III. 5

greuEvaluare Națională 2021 · Varianta 3

Unghiuri și drepteTriunghiulPatrulatere

Se consideră trapezul isoscel

A B C D

, cu

A B ∥ C D

, măsura unghiului

A D C

este egală cu

12 0^{\circ}

și

A D = D C = 6

cm. Dreapta

M P

este mediatoarea segmentului

B C

, unde punctul

M

aparține dreptei

A B

și punctul

P

aparține dreptei

B C

a)
Arată că $A B = 12$ cm.
b)
Demonstrează că dreptele $D M$ și $M P$ sunt perpendiculare.

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a găsi lungimea bazei mari $A B$ într-un trapez, în special unul isoscel, este util să proiectați vârfurile bazei mici pe baza mare, formând astfel triunghiuri dreptunghice și un dreptunghi.
a)
Trasați înălțimile din $D$ și $C$ pe $A B$ , notându-le $D E$ și $C F$ . Astfel, se formează dreptunghiul $D C F E$ și două triunghiuri dreptunghice congruente, $△ A D E$ și $△ B C F$ .
a)
Folosiți proprietățile trapezului isoscel pentru a determina măsura unghiului $∠ D A B$ . Apoi, în triunghiul dreptunghic $△ A D E$ , unde $A D = 6$ cm, calculați lungimea segmentului $A E$ folosind funcții trigonometrice sau proprietățile triunghiurilor speciale.
b)
Pentru a demonstra că două drepte sunt perpendiculare, trebuie să arătați că unghiul format de ele este de $9 0^{\circ}$ . Acest lucru implică adesea calcularea măsurilor unghiurilor în figurile geometrice implicate.
b)
Folosiți proprietățile mediatoarei unui segment: orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului. Astfel, $M B = M C$ . De asemenea, folosiți proprietățile unghiurilor trapezului isoscel $A B C D$ .
b)
Folosind faptul că $M P$ este mediatoarea segmentului $B C$ și $∠ A B C = 6 0^{\circ}$ (din proprietățile trapezului isoscel), deduceți natura triunghiului $△ M B C$ și lungimea $M B$ . Apoi, calculați $A M = A B - M B$ . Cu $A D = 6$ cm, determinați natura triunghiului $△ A M D$ și măsura unghiului $∠ A M D$ . Acum, puteți calcula $∠ D M P$ folosind unghiurile de pe dreapta $A B$ .