Matematică

Unghiuri și drepte — Subiectul III. 4

greuEvaluare Națională 2025 · Varianta 2

Unghiuri și drepteTriunghiulPatrulatere

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral

A B C

, cu

A B = 6 cm

. Punctul

G

este centrul de greutate al triunghiului

A B C

și punctul

M

este simetricul punctului

A

față de punctul

G

a)
Arată că măsura unghiului $A C M$ este egală cu $9 0^{\circ}$ .
b)
Bisectoarea unghiului $A M C$ intersectează dreapta $A C$ în punctul $T$ . Arată că aria patrulaterului $A B M T$ este egală cu $103 cm^{2}$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
G este centrul de greutate al triunghiului echilateral ABC. Ce proprietăți speciale are centrul de greutate într-un triunghi echilateral? Gândiți-vă la mediane și la relația dintre $A G$ și $C G$ .
a)
Într-un triunghi echilateral, centrul de greutate este și centrul cercului circumscris. Astfel, $A G = B G = C G$ . De asemenea, $M$ este simetricul lui $A$ față de $G$ , deci $A G = GM$ .
a)
Folosind proprietățile de la Hint 2, comparați lungimile segmentelor $C G$ , $A G$ și $GM$ . Ce relație există între $C G$ și $A M$ ? Ce tip de triunghi este $A C M$ dacă mediana $C G$ este jumătate din latura $A M$ ?
b)
Pentru a calcula aria patrulaterului $A B M T$ , începeți prin a determina natura acestui patrulater. Puteți demonstra că $A B ∥ T M$ ?
b)
Calculați lungimile segmentelor $A G$ , $C G$ , $A M$ și $C M$ . Folosiți teorema bisectoarei în $△ A M C$ pentru a găsi lungimile $A T$ și $M T$ .
b)
Determinați măsurile unghiurilor $∡ M A C$ și $∡ A M C$ în $△ A M C$ . Folosiți faptul că $M T$ este bisectoarea unghiului $∡ A M C$ pentru a deduce că $△ A M T$ este isoscel și pentru a găsi $∡ M T C$ . Comparați $∡ M T C$ cu $∡ B A C$ pentru a demonstra paralelismul și a identifica înălțimea trapezului.