Matematică

Unghiuri și drepte, Subiectul III. 5

greuEvaluare Națională 2024 · Varianta 2

Unghiuri și drepteTriunghiulPatrulatere

În figura alăturată este reprezentat trapezul

A B C D

A B ∥ C D

A B = 2 \cdot A D = 4 c m

, măsura unghiului

B A D

egală cu

9 0^{\circ}

și măsura unghiului

A B C

egală cu

3 0^{\circ}

. În exteriorul trapezului se construiesc pătratele

A B E F

și

B C H G

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a determina lungimea unei laturi într-un trapez cu unghiuri date, este util să construiești o perpendiculară dintr-un vârf pe o bază pentru a forma un triunghi dreptunghic.
a)
Construiește perpendiculara $C M$ din $C$ pe $A B$ , cu $M \in A B$ . Patrulaterul $A D C M$ este un dreptunghi. Folosește proprietățile triunghiului dreptunghic $△ C M B$ și funcția trigonometrică sinus pentru unghiul $∡ M B C$ .
a)
Știi că $A D = 2 c m$ , deci $C M = A D = 2 c m$ . În $△ C M B$ , $sin (∡ M B C) = C M / B C$ . Substituie valorile cunoscute pentru a-l afla pe $B C$ .
b)Pentru a demonstra că un patrulater este trapez isoscel, trebuie să arăți că are o pereche de laturi paralele și că laturile neparalele sunt egale.
b)
Laturile $A E$ și $C G$ sunt laturi ale pătratelor $A B E F$ și $B C H G$ . Determină lungimile lor. Pentru paralelismul $A C ∥ E G$ , compară unghiurile pe care segmentele $A C$ și $E G$ le formează cu o dreaptă de referință comună, cum ar fi dreapta $A B$ .
b)
Calculează $∡ C A B$ în $△ A B C$ . Apoi, calculează unghiul pe care segmentul $E G$ îl face cu dreapta $A B$ . Pentru aceasta, determină $∡ B E G$ în $△ E B G$ (folosind $∡ E B G = ∡ A B E + ∡ A B C + ∡ C B G$ ) și apoi folosește faptul că $B E ⊥ A B$ pentru a găsi unghiul dintre $E G$ și $A B$ .

Patrulatere, din alte variante, de la ușor la greu.