Matematică

Unghiuri și drepte, Subiectul III. 4

greuEvaluare Națională 2024 · Varianta 2

Unghiuri și drepte

În figura alăturată este reprezentat pătratul

A B C D

. Punctul

M

aparține laturii

C D

, iar paralela prin

M

la dreapta

A D

intersectează latura

A B

în punctul

N

. Bisectoarea unghiului

A N M

intersectează latura

A D

în punctul

P

, iar bisectoarea unghiului

M N B

intersectează latura

B C

în punctul

Q

a)
Arată că măsura unghiului $P N Q$ este egală cu $9 0^{\circ}$ .
b)
Demonstrează că punctele $P$ , $O$ și $Q$ sunt coliniare, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $A C$ și $B D$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Punctul $N$ se află pe $A B$ , iar $M N ∥ A D$ . Ce relație de perpendicularitate există între $M N$ și $A B$ , având în vedere că $A B C D$ este un pătrat?
a)
Dacă $N P$ este bisectoarea unghiului $∠ A N M$ și $N Q$ este bisectoarea unghiului $∠ M N B$ , cum poți exprima măsurile unghiurilor $∠ P N M$ și $∠ M N Q$ ?
a)
Folosește măsurile unghiurilor $∠ P N M$ și $∠ M N Q$ pentru a calcula măsura unghiului $∠ P N Q$ .
b)
Având în vedere că $N P$ și $N Q$ sunt bisectoare și că $∠ A N M = ∠ M N B = 9 0^{\circ}$ , ce fel de triunghiuri sunt $△ A N P$ și $△ B N Q$ ?
b)
Din proprietățile acestor triunghiuri, deduce relații între lungimile segmentelor $A N$ , $A P$ , $B N$ , $B Q$ . Apoi, exprimă $D P$ în funcție de $A N$ sau $A P$ și compară-l cu $B Q$ .
b)
Consideră patrulaterul $D P B Q$ . Ce tip de patrulater este acesta, având în vedere că $D P ∥ B Q$ și $D P = B Q$ ? Cum se intersectează diagonalele unui astfel de patrulater și ce rol joacă punctul $O$ (intersecția diagonalelor pătratului) în acest context?

Unghiuri și drepte, din alte variante, de la ușor la greu.