Matematică

Numere naturale și divizibilitate — Subiectul III. 2

greuEvaluare Națională 2023 · Varianta Martie

Numere naturale și divizibilitateNumere reale și radicali

Se consideră expresia

E (x) = (\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 16} - 1) : (\frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x - 4} - \frac{3}{x ^{2} - 16})

, unde

x

este număr real,

x \neq = - 4

x \neq = 4

și

x \neq = \frac{3}{2}

a)
Arată că $E (x) = \frac{7}{2 x - 3}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = - 4$ , $x \neq = 4$ și $x \neq = \frac{3}{2}$ .
b)
Determină numerele naturale $n$ pentru care $E (n)$ este număr natural.

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începe prin a simplifica fiecare paranteză a expresiei $E (x)$ separat, folosind operațiile cu fracții algebrice.
a)
Pentru a efectua scăderea din prima paranteză și adunările/scăderile din a doua, adu fracțiile la un numitor comun. Reține că $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ .
a)
În prima paranteză, numitorul comun este $x^{2} - 16$ . În a doua paranteză, numitorul comun este tot $x^{2} - 16$ . După simplificarea fiecărei paranteze, efectuează împărțirea.
b)
Pentru ca $E (n)$ să fie un număr natural, valoarea $\frac{7}{2 n - 3}$ trebuie să fie un număr natural.
b)
Aceasta înseamnă că numitorul $2 n - 3$ trebuie să fie un divizor întreg al numărătorului $7$ . De asemenea, $2 n - 3$ trebuie să fie pozitiv pentru ca fracția să fie pozitivă.
b)
Determină toți divizorii pozitivi ai lui $7$ și egalează $2 n - 3$ cu fiecare dintre aceștia. Verifică apoi pentru fiecare soluție dacă $n$ este un număr natural și dacă respectă condițiile inițiale ( $n \neq = 4$ , $n \neq = \frac{3}{2}$ ).