Matematică

Numere naturale și divizibilitate — Subiectul III. 2

greuEvaluare Națională 2024 · Varianta 7

Numere naturale și divizibilitateNumere întregiNumere reale și radicali

Se consideră expresia

E (x) = (\frac{1}{x ^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x - 1}) \cdot (x^{2} - 4)

, unde

x

este număr real,

x \neq = 1

și

x \neq = 2

a)
Arată că $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ , pentru orice număr real $x$ .
b)
Determină numerele întregi $n$ , $n \neq = 1$ și $n \neq = 2$ , pentru care $N = \frac{5}{E ( n )}$ este număr natural.

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)O metodă comună de a descompune un trinom de gradul al doilea este prin identificarea rădăcinilor sau prin gruparea termenilor.
a)
Pentru un trinom de forma $a x^{2} + b x + c$ , dacă $x_{1}$ și $x_{2}$ sunt rădăcinile, atunci acesta se poate scrie ca $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Alternativ, poți încerca să descompui termenul din mijloc, $- 3 x$ .
a)
Încearcă să rescrii termenul $- 3 x$ ca o sumă de doi termeni, de exemplu $- 2 x - x$ , și apoi grupează termenii pentru a scoate factor comun.
b)
Primul pas este să simplifici expresia $E (x)$ pe cât posibil, folosind rezultatul de la subpunctul a).
b)
Înlocuiește $x^{2} - 3 x + 2$ cu forma sa factorizată, apoi adu la același numitor fracțiile din paranteză. De asemenea, factorizează $x^{2} - 4$ folosind formula diferenței de pătrate.
b)
După simplificarea lui $E (n)$ , înlocuiește-l în expresia pentru $N = \frac{5}{E ( n )}$ . Pentru ca $N$ să fie număr natural, numitorul trebuie să fie un divizor pozitiv al lui $5$ .