Matematică

Numere reale și radicali — Subiectul III. 2

greuEvaluare Națională 2024 · Varianta Model

Numere reale și radicaliNumere naturale și divizibilitate

Se consideră expresia

E (x) = (\frac{x}{9 + 3 x} - \frac{2}{x + 3} + \frac{3}{x ^{2} + 3 x}) : (\frac{x}{3} - \frac{3}{x} - 2)

, unde

x

este un număr real,

x \neq = - 3

x \neq = 0

și

x \neq = 3

a)
Arată că $\frac{x}{9 + 3 x} - \frac{2}{x + 3} + \frac{3}{x ^{2} + 3 x} = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{3 x ( x + 3 )}$ , pentru orice număr real $x$ , $x \neq = - 3$ și $x \neq = 0$ .
b)
Determină numărul natural $n$ pentru care $5 \cdot E (n)$ este număr natural.

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a arăta egalitatea, începeți prin a aduce toate fracțiile din membrul stâng la un numitor comun.
a)
Factorizați numitorii: $9 + 3 x = 3 (x + 3)$ și $x^{2} + 3 x = x (x + 3)$ . Numitorul comun va fi $3 x (x + 3)$ .
a)
Aduceți fiecare fracție la numitorul comun $3 x (x + 3)$ și efectuați operațiile din numărător pentru a obține $(x - 3)^{2}$ .
b)
Mai întâi, simplificați complet expresia $E (x)$ folosind rezultatul de la subpunctul a) și simplificând a doua paranteză.
b)
După simplificarea lui $E (x)$ , înlocuiți $x$ cu $n$ și analizați condiția ca $5 \cdot E (n)$ să fie un număr natural, ținând cont că $n$ este un număr natural.
b)
Expresia $5 \cdot E (n)$ va fi de forma $\frac{k}{n + c}$ . Pentru ca aceasta să fie un număr natural, numitorul $n + c$ trebuie să fie un divizor pozitiv al numărătorului $k$ .