Matematică

Unghiuri și drepte, Subiectul III. 5

greuEvaluare Națională 2021 · Varianta Test 13

Unghiuri și drepteTriunghiulPatrulatere

În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel

A B C D

A B ∥ C D

. Punctul

M

este mijlocul bazei mari

A B

și

A M = A D = C D = 12

cm.

a)
Arată că aria trapezului $A B C D$ este egală cu $1083$ cm $^{2}$ .
b)
Demonstrează că bisectoarea unghiului $B A D$ este perpendiculară pe dreapta $B C$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula aria trapezului, descompune-l în figuri geometrice mai simple, folosind proprietățile punctului $M$ și ale laturilor date.
a)
Demonstrează că triunghiurile $△ A M D$ , $△ D M C$ și $△ M C B$ sunt echilaterale și congruente, apoi utilizează formula ariei unui triunghi echilateral cu latura $s$ : $A = \frac{s ^{2} 3}{4}$ .
a)
Calculează aria unui singur triunghi echilateral folosind latura de $12$ cm, apoi înmulțește rezultatul cu numărul de astfel de triunghiuri care compun trapezul.
b)
Identifică dreapta care este bisectoarea unghiului $∠ B A D$ . Apoi, concentrează-te pe triunghiul format de această bisectoare și latura $B C$ a trapezului.
b)
Demonstrează că $A C$ este bisectoarea unghiului $∠ B A D$ , folosind proprietățile rombului $A M C D$ (identificat la subpunctul a)). Apoi, determină măsurile unghiurilor $∠ C A B$ și $∠ A B C$ din $△ A B C$ , folosind proprietățile triunghiurilor echilaterale și ale trapezului isoscel.
b)
Calculează suma unghiurilor $∠ C A B$ și $∠ A B C$ . Folosește suma unghiurilor într-un triunghi pentru a determina măsura unghiului $∠ A C B$ și concluzionează dacă $A C ⊥ B C$ .

Patrulatere, din alte variante, de la ușor la greu.