Matematică

Cercul — Subiectul III. 4

greuEvaluare Națională 2026 · Varianta 1

Cercul

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru

O

și raza de

6

cm. Punctele

A

B

C

și

D

aparțin cercului, astfel încât dreptele

A B

și

C D

sunt perpendiculare. Punctul

M

este mijlocul coardei

A B

și

O M = 3

cm.

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Identifică tipul triunghiului format de centrul cercului, un capăt al coardei și mijlocul coardei. În acest caz, este vorba de $△ O A M$ .
a)
Amintește-ți proprietatea că segmentul de la centru la mijlocul unei coarde este perpendicular pe coardă. Aceasta înseamnă că $△ O A M$ este un triunghi dreptunghic în $M$ .
a)
Aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $O A M$ , unde $O A$ este raza cercului, $O M$ este distanța de la centru la coardă și $A M$ este jumătate din lungimea coardei.
b)
Observă că $144 = 1 2^{2}$ . Ce legătură are $12$ cu cercul dat, având raza de $6$ cm? Aceasta sugerează că trebuie să folosești diametrul cercului.
b)
Construiește un diametru care trece printr-unul dintre punctele coardei, de exemplu, diametrul $B E$ . Ce proprietăți au unghiurile înscrise într-un semicerc, cum ar fi $∠ B D E$ ?
b)
Folosește faptul că $A B ⊥ C D$ și că $A E ⊥ A B$ (dacă $B E$ este diametru). Ce relație de paralelism se poate deduce între $A E$ și $C D$ ? Cum se traduce acest lucru în termeni de arce și lungimi de coarde, și cum poți înlocui apoi în expresia $A C^{2} + B D^{2}$ ?

Cercul, din alte variante, de la ușor la greu.