Matematică

Unghiuri și drepte, Subiectul III. 6

greuEvaluare Națională 2026 · Varianta Martie

Unghiuri și drepteAsemănare și teorema lui PitagoraCorpuri geometrice

În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat

A B C D

, cu

A B = 6 cm

. Punctul

M

este mijlocul muchiei

A D

și punctul

P

este simetricul punctului

B

față de punctul

M

a)
Arată că $C P = 62 cm$ .
b)
Arată că sinusul unghiului dreptelor $D P$ și $C M$ este egal cu $\frac{33}{6}$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Un tetraedru regulat are toate fețele triunghiuri echilaterale. Identifică lungimile segmentelor $B C$ , $B M$ și $C M$ .
a)
Folosește faptul că $M$ este mijlocul lui $B P$ pentru a determina lungimea segmentului $B P$ . Apoi, observă relația dintre lungimea medianei $C M$ în triunghiul $B C P$ și lungimea laturii $B P$ .
a)
Arată că $B M = C M = \frac{6 3}{2} = 33$ cm. Dedu că $B P = 2 \cdot B M = 63$ cm. Având $C M = \frac{1}{2} B P$ , triunghiul $B C P$ este dreptunghic în $C$ . Aplică teorema lui Pitagora în $△ B C P$ .
b)Unghiul dintre două drepte necoplanare este unghiul dintre una dintre drepte și o paralelă la cealaltă dreaptă, dusă printr-un punct al primei drepte.
b)
Folosește faptul că $A B P D$ este un paralelogram (demonstrat la a)) pentru a găsi o dreaptă paralelă cu $D P$ . Apoi, construiește o linie mijlocie într-un triunghi relevant pentru a găsi o dreaptă paralelă cu $A B$ care să intersecteze $C M$ .
b)
Fie $E$ mijlocul segmentului $B D$ . Arată că $M E ∥ A B$ și $M E = \frac{A B}{2}$ . Deoarece $D P ∥ A B$ , rezultă că $M E ∥ D P$ . Calculează lungimile laturilor triunghiului $C M E$ (unde $C M$ și $C E$ sunt mediane în triunghiuri echilaterale) și aplică teorema cosinusului în $△ C M E$ pentru a găsi $cos (∠ C M E)$ , apoi $sin (∠ C M E)$ .

Asemănare și teorema lui Pitagora, din alte variante, de la ușor la greu.