Matematică

Unghiuri și drepte — Subiectul III. 6

greuEvaluare Națională 2026 · Varianta 5

Unghiuri și drepteCorpuri geometriceNumere reale și radicali

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată

V A B C D

, cu baza

A B C D

V A = A B = 12

cm. Punctul

M

este mijlocul muchiei

V A

, iar punctul

N

este proiecția punctului

M

pe planul

(A B C)

a)
Arată că volumul piramidei $V A B C D$ este egal cu $2882$ cm $^{3}$ .
b)
Determină tangenta unghiului dintre dreapta $M N$ și planul $(V A D)$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Volumul unei piramide se calculează folosind formula $V = \frac{1}{3} \cdot A_{baz \overset{a}{˘}} \cdot h$ , unde $A_{baz \overset{a}{˘}}$ este aria bazei și $h$ este înălțimea piramidei.
a)
Baza piramidei este un pătrat, deci aria bazei este $A B^{2}$ . Înălțimea piramidei, $V O$ , poate fi determinată aplicând teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic format de o muchie laterală, înălțimea piramidei și jumătate din diagonala bazei.
a)
Calculează lungimea diagonalei bazei $A C$ și apoi lungimea segmentului $A O$ . Folosește apoi triunghiul dreptunghic $V O A$ pentru a determina înălțimea $V O$ a piramidei.
b)Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția sa pe plan. Dacă dreapta intersectează planul într-un punct, iar un alt punct de pe dreaptă este proiectat pe plan, unghiul se formează între dreaptă și segmentul care unește punctul de intersecție cu proiecția.
b)
Punctul $M$ aparține planului $(V A D)$ . Pentru a determina unghiul dintre dreapta $M N$ și planul $(V A D)$ , trebuie să găsești proiecția punctului $N$ pe planul $(V A D)$ . Fie $T$ această proiecție; atunci unghiul căutat este $∠ N M T$ .
b)
Calculează lungimea segmentului $M N$ . Pentru a găsi $N T$ , observă că $N$ este mijlocul lui $A O$ și că $M N ⊥ (A B C)$ . Construiește $N Q ⊥ A D$ cu $Q \in A D$ . Demonstrează că $A D ⊥ (M N Q)$ , de unde rezultă că $N T ⊥ A D$ . De asemenea, $T$ este piciorul perpendicularei din $N$ pe $M Q$ . Calculează $N Q$ și $M Q$ în triunghiul dreptunghic $M N Q$ pentru a determina $N T$ ca înălțime în acest triunghi.

Exersează același capitol

Corpuri geometrice, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 92 de exerciții din Corpuri geometrice →