Matematică

Numere naturale și divizibilitate — Subiectul III. 5

greuEvaluare Națională 2026 · Varianta 5

Numere naturale și divizibilitateUnghiuri și dreptePatrulatere

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul

A B C D

, cu

A B = 6

cm și

B C = 3

cm. Punctul

M

este mijlocul laturii

A B

, iar dreptele

A C

și

D M

se intersectează în punctul

P

a)
Arată că $C P = 2 \cdot A P$ .
b)
Determină lungimea segmentului $M T$ , unde punctul $T$ este mijlocul segmentului $C P$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a demonstra relația dintre $C P$ și $A P$ , este util să identifici o pereche de triunghiuri asemenea în figură.
a)
Consideră triunghiurile $△ A P M$ și $△ C P D$ . Ce proprietăți ale dreptunghiului și ale punctului $M$ te ajută să demonstrezi că aceste triunghiuri sunt asemenea?
a)
Folosește criteriul de asemănare U.U. (unghi-unghi) pentru a demonstra că $△ A P M \sim △ C P D$ , apoi scrie rapoartele laturilor corespondente, ținând cont că $M$ este mijlocul lui $A B$ .
b)
Pentru a calcula lungimea segmentului $M T$ , este esențial să determinăm natura triunghiului $△ P M C$ și lungimea ipotenuzei sale.
b)
Calculează lungimea diagonalei $A C$ a dreptunghiului folosind teorema lui Pitagora în $△ A B C$ . Apoi, folosește relația $C P = 2 \cdot A P$ de la subpunctul a) pentru a găsi lungimea segmentului $C P$ .
b)
Demonstrează că dreptele $D M$ și $M C$ sunt perpendiculare, ceea ce implică faptul că $△ D M C$ (și deci $△ P M C$ ) este un triunghi dreptunghic. Odată ce ai stabilit că $△ P M C$ este dreptunghic, $M T$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei $C P$ .

Patrulatere, din alte variante, de la ușor la greu.