Matematică

Triunghiul, Subiectul III. 4

greuEvaluare Națională 2025 · Varianta 3

TriunghiulAsemănare și teorema lui Pitagora

În figura alăturată este reprezentat triunghiul

A B C

, cu

A C = 9 cm

. Punctul

H

este ortocentrul triunghiului

A B C

, punctul

M

este proiecția punctului

H

pe dreapta

A C

și

H M = 2 cm

a)
Arată că aria triunghiului $A H C$ este egală cu $9 cm^{2}$ .
b)
Știind că $A H = 2 \cdot C D$ , unde ${D} = A H \cap B C$ , determină lungimea segmentului $C D$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Aria unui triunghi se calculează folosind formula bazei și înălțimii corespunzătoare, adică $A = \frac{baz a ˘ \cdot ı ˆ n a ˘ l ț ime}{2}$ .
a)
Pentru triunghiul $A H C$ , consideră $A C$ ca bază. Înălțimea corespunzătoare acestei baze este segmentul $H M$ , deoarece $M$ este proiecția punctului $H$ pe dreapta $A C$ .
a)
Substituie lungimile segmentelor $A C = 9 c m$ și $H M = 2 c m$ în formula ariei pentru a obține rezultatul cerut.
b)
Pentru a determina lungimea segmentului $C D$ , caută perechi de triunghiuri asemenea care implică segmentele date sau cele pe care trebuie să le afli, cum ar fi $A H$ , $C D$ , $H M$ și $A C$ .
b)
Observă că $H$ este ortocentrul triunghiului $A B C$ , iar $D$ este intersecția lui $A H$ cu $B C$ , ceea ce înseamnă că $A D$ este o înălțime. Consideră triunghiurile $△ A H M$ și $△ A C D$ și demonstrează asemănarea lor, apoi scrie raportul de asemănare corespunzător.
b)
Folosește raportul de asemănare $\frac{A H}{A C} = \frac{H M}{C D}$ și relația dată $A H = 2 \cdot C D$ pentru a forma o ecuație și a calcula lungimea segmentului $C D$ .

Asemănare și teorema lui Pitagora, din alte variante, de la ușor la greu.