Matematică

Unghiuri și drepte — Subiectul III. 6

greuEvaluare Națională 2021 · Varianta Simulare martie

Unghiuri și dreptePatrulatereCorpuri geometrice

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată

V A B C D

cu baza

A B C D

A B = V A = 6 c m

. Punctele

M

N

și

P

sunt mijloacele muchiilor

B C

A D

, respectiv

V B

a)
Arată că unghiul dintre dreapta $V B$ și planul $(A B C)$ are măsura de $4 5^{\circ}$ .
b)
Arată că planele $(N C V)$ și $(A M P)$ sunt paralele.

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Unghiul dintre o dreaptă și un plan este definit ca fiind unghiul dintre dreaptă și proiecția sa pe acel plan.
a)
Pentru a determina proiecția dreptei $V B$ pe planul $(A B C)$ , trebuie să proiectezi punctul $V$ pe planul bazei. Deoarece piramida este regulată, proiecția vârfului $V$ este centrul bazei $A B C D$ . Notează acest punct cu $O$ .
a)
Proiecția dreptei $V B$ pe planul $(A B C)$ este dreapta $O B$ . Astfel, unghiul căutat este $∡ V B O$ . Calculează lungimile segmentelor $V O$ și $O B$ și folosește-le pentru a determina tipul triunghiului $△ V B O$ și măsura unghiului cerut.
b)Pentru a demonstra că două plane sunt paralele, este suficient să arăți că două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele, fiecare în parte, cu câte o dreaptă din celălalt plan.
b)
Identifică o primă pereche de drepte paralele. De exemplu, poți arăta că $A M ∥ C N$ . Pentru a face acest lucru, analizează patrulaterul $A M C N$ și proprietățile sale, ținând cont că $A B C D$ este un pătrat și $M, N$ sunt mijloacele laturilor $B C$ și $A D$ .
b)
Acum, găsește o a doua pereche de drepte paralele. Consideră dreapta $P M$ din planul $(A M P)$ . Folosește proprietatea liniei mijlocii într-un triunghi pentru a găsi o dreaptă din planul $(N C V)$ cu care $P M$ este paralelă.