Matematică

Unghiuri și drepte, Subiectul III. 6

greuEvaluare Națională 2022 · Varianta Model

Unghiuri și drepteTriunghiulPatrulatereCorpuri geometrice

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră

V A B C D

, cu baza pătratul

A B C D

, cu

A B = 8

cm. Înălțimea

V O

a piramidei are lungimea egală cu

43

cm, unde

O

este punctul de intersecție a dreptelor

A C

și

B D

a)
Arată că volumul piramidei $V A B C D$ este egal cu $\frac{256 3}{3}$ cm $^{3}$ .
b)
Demonstrează că măsura unghiului planelor $(V A D)$ și $(V B C)$ este egală cu $6 0^{\circ}$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Volumul unei piramide se calculează folosind formula generală care implică aria bazei și înălțimea piramidei.
a)
Baza piramidei este un pătrat $A B C D$ cu latura $A B = 8$ cm. Calculează aria acestui pătrat.
a)
Folosește formula $V = \frac{1}{3} \cdot A_{ba z e i} \cdot h$ , înlocuind aria bazei calculate și înălțimea dată $V O = 43$ cm.
b)Unghiul dintre două plane este definit ca unghiul dintre două drepte, una în fiecare plan, care sunt perpendiculare pe dreapta de intersecție a celor două plane.
b)
Deoarece $A D ∥ B C$ , planele $(V A D)$ și $(V B C)$ se intersectează de-a lungul unei drepte care trece prin $V$ și este paralelă cu $A D$ și $B C$ . Identifică două segmente, unul în planul $(V A D)$ și unul în planul $(V B C)$ , care sunt perpendiculare pe această dreaptă de intersecție.
b)
Consideră $M$ și $N$ mijloacele segmentelor $A D$ și $B C$ . Arată că $V M ⊥ A D$ și $V N ⊥ B C$ . Unghiul căutat este $∠ M V N$ . Calculează lungimile $V M$ , $V N$ și $M N$ pentru a determina natura triunghiului $V M N$ și, implicit, măsura unghiului $∠ M V N$ .

Triunghiul, din alte variante, de la ușor la greu.