Matematică

Unghiuri și drepte — Subiectul III. 4

greuEvaluare Națională 2023 · Varianta Model

Unghiuri și drepteTriunghiul

În figura alăturată este reprezentat pătratul

A B C D

A B = 4 cm

și triunghiul echilateral

A B P

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a determina măsura unui unghi într-un triunghi, puteți folosi teorema cosinusului dacă cunoașteți lungimile tuturor laturilor.
a)
Identificați triunghiul care conține unghiul $D P B$ . Calculați lungimile laturilor sale: $P B$ (din triunghiul echilateral), $D B$ (diagonala pătratului) și $D P$ . Pentru $D P$ , folosiți teorema cosinusului în triunghiul $A P D$ .
a)
În triunghiul $A P D$ , calculați $m (∠ P A D) = m (∠ D A B) + m (∠ P A B)$ . Folosiți teorema cosinusului pentru a găsi $D P$ . Apoi, în triunghiul $D P B$ , aplicați teorema cosinusului pentru a determina $cos (∠ D P B)$ .
b)
Pentru a găsi lungimea segmentului $A M$ , puteți folosi asemănarea triunghiurilor. Identificați două triunghiuri asemenea relevante în figură.
b)
Construiți înălțimea din $P$ pe $A B$ în triunghiul echilateral $A B P$ . Fie $Q$ piciorul acestei înălțimi. Observați că $P Q$ este paralelă cu $A D$ .
b)
Folosiți asemănarea triunghiurilor $△ D A M$ și $△ P QM$ . Scrieți raportul de asemănare $\frac{A D}{P Q} = \frac{A M}{M Q}$ și exprimați $M Q$ în funcție de $A M$ și $A Q$ . Calculați lungimile $A D$ , $P Q$ și $A Q$ .