Matematică

Numere întregi — Subiectul III. 2

greuEvaluare Națională 2023 · Varianta Model

Numere întregi

Se consideră expresia

E (x) = (\frac{2}{x - 2} + \frac{x}{x + 2}) : \frac{x ^{2} + 4}{x ^{2} - x - 2}

, unde

x \in R ∖ {- 2, - 1, 2}

a)
Arată că $E (x) = \frac{x + 1}{x + 2}$ , pentru orice $x \in R ∖ {- 2, - 1, 2}$ .
b)
Determină numerele întregi $a$ pentru care $E (a) \in Z$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a simplifica o expresie care conține adunări, scăderi, înmulțiri și împărțiri de fracții raționale, efectuați operațiile în ordinea corectă (paranteze, apoi împărțiri/înmulțiri).
a)
Aduceți fracțiile din paranteză la un numitor comun și factorizați expresia de la numitorul celei de-a doua fracții, $x^{2} - x - 2$ .
a)
Numitorul comun pentru suma din paranteză este $(x - 2) (x + 2)$ , iar $x^{2} - x - 2$ se poate scrie ca $(x + 1) (x - 2)$ .
b)
Pentru ca o fracție de forma $\frac{P ( a )}{Q ( a )}$ să fie un număr întreg, numitorul $Q (a)$ trebuie să dividă numărătorul $P (a)$ .
b)
Rescrieți expresia $E (a) = \frac{a + 1}{a + 2}$ separând o parte întreagă, de exemplu, scriind numărătorul în funcție de numitor.
b)
Expresia $E (a)$ poate fi scrisă ca $1 - \frac{1}{a + 2}$ . Pentru ca aceasta să fie un număr întreg, fracția $\frac{1}{a + 2}$ trebuie să fie un număr întreg. Nu uitați să verificați și condițiile de existență ale expresiei $E (a)$ .