Matematică

Triunghiul — Subiectul III. 5

greuEvaluare Națională 2023 · Varianta 5

Triunghiul

În figura alăturată este reprezentat triunghiul

A B C

, cu

A B = A C = 10

cm și

∡ B A C = 12 0^{\circ}

. Punctul

M

este mijlocul segmentului

B C

și punctul

S

este simetricul punctului

M

față de punctul

A

a)
Arată că $B C = 103$ cm.
b)
Demonstrează că distanța de la punctul $M$ la dreapta $S C$ este mai mică decât $7$ cm.

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Observă că triunghiul $A B C$ este isoscel, iar $M$ este mijlocul bazei $B C$ . Ce proprietăți are mediana corespunzătoare bazei într-un triunghi isoscel?
a)
Mediana $A M$ este și înălțime, deci triunghiul $A M C$ este dreptunghic în $M$ . De asemenea, $A M$ este și bisectoare, deci măsura unghiului $C A M$ este jumătate din măsura unghiului $B A C$ .
a)
Calculează măsura unghiului $C A M$ și apoi folosește funcția trigonometrică sinus în triunghiul dreptunghic $A M C$ pentru a exprima lungimea segmentului $M C$ în funcție de $A C$ și $sin (∠ C A M)$ . Nu uita că $B C = 2 \cdot M C$ .
b)
Distanța de la punctul $M$ la dreapta $S C$ este lungimea înălțimii din $M$ în triunghiul $S M C$ . Pentru a o calcula, este util să cunoști natura triunghiului $S M C$ și lungimile laturilor sale.
b)
Calculează lungimea segmentului $A M$ folosind triunghiul dreptunghic $A M C$ . Apoi, având în vedere că $S$ este simetricul lui $M$ față de $A$ , determină lungimea segmentului $S M$ . Observă că $A M ⊥ B C$ , iar $S, A, M$ sunt coliniare, deci $S M ⊥ M C$ . Astfel, triunghiul $S M C$ este dreptunghic în $M$ .
b)
Folosește teorema lui Pitagora în triunghiul $S M C$ pentru a calcula lungimea ipotenuzei $S C$ . Apoi, aplică formula pentru aria unui triunghi dreptunghic, exprimată în două moduri, pentru a găsi înălțimea din $M$ pe $S C$ : $h = (c a t e t a_{1} \cdot c a t e t a_{2}) / i p o t e n u z a$ . La final, compară valoarea obținută cu $7$ .