Matematică

Unghiuri și drepte, Subiectul III. 4

greuEvaluare Națională 2023 · Varianta 5

Unghiuri și drepteTriunghiul

În figura alăturată sunt reprezentate triunghiurile echilaterale

A B C

și

C D E

, cu

A B = 8 cm

C D = 4 cm

, iar punctele

B

C

și

D

sunt coliniare, în această ordine. Punctele

M

și

N

sunt mijloacele segmentelor

A B

, respectiv

D E

a)
Arată că $C M = 2 \cdot C N$ .
b)
Aria triunghiului $M C N$ reprezintă $p %$ din aria triunghiului $A C D$ . Determină valoarea lui $p$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Reamintiți-vă proprietățile medianei și înălțimii într-un triunghi echilateral. Punctele M și N sunt mijloacele laturilor AB, respectiv DE, iar triunghiurile sunt echilaterale.
a)
Folosiți formula pentru lungimea înălțimii (sau medianei) într-un triunghi echilateral cu latura $s$ : $h = \frac{s 3}{2}$ .
a)
Calculați lungimile segmentelor $C M$ și $C N$ folosind laturile corespunzătoare ale triunghiurilor echilaterale date, $A B = 8 c m$ și $C D = 4 c m$ , apoi comparați rezultatele.
b)
Pentru a calcula ariile triunghiurilor $M C N$ și $A C D$ , puteți folosi formula ariei unui triunghi în funcție de două laturi și sinusul unghiului dintre ele, sau puteți căuta o relație de asemănare între cele două triunghiuri.
b)
Determinați măsurile unghiurilor $∠ M C N$ și $∠ A C D$ . Rețineți că B, C, D sunt coliniare și că $C M$ și $C N$ sunt bisectoare în triunghiurile echilaterale $A B C$ , respectiv $C D E$ .
b)
Verificați dacă triunghiurile $M C N$ și $A C D$ sunt asemenea. Dacă sunt, raportul ariilor lor este egal cu pătratul raportului de asemănare al laturilor corespunzătoare. Calculați raportul $\frac{C M}{A C}$ și $\frac{C N}{C D}$ .

Triunghiul, din alte variante, de la ușor la greu.