Matematică

Numere reale și radicali — Subiectul III. 2

greuEvaluare Națională 2022 · Varianta Test 4

Numere reale și radicali

Se consideră expresia

E (x) = (- x + x^{2})^{2} + 4 x^{3}

, unde

x

este număr real.

a)
Arată că $E (- 1) = E (0)$ .
b)
Determină numărul natural nenul $n$ , știind că $\frac{1}{E ( 1 )} + \frac{1}{E ( 2 )} + \frac{1}{E ( 3 )} + ... + \frac{1}{E ( n )} = \frac{2021}{2022}$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începe prin a dezvolta pătratul din expresia $E (x)$ și a combina toți termenii similari pentru a o simplifica.
a)
După simplificare, vei observa că expresia $E (x)$ poate fi rescrisă ca un pătrat perfect al unei sume de termeni.
a)
Calculează $E (- 1)$ și $E (0)$ folosind această formă simplificată a expresiei $E (x)$ și verifică egalitatea.
b)
Folosește forma simplificată a expresiei $E (x)$ obținută la subpunctul a) pentru a calcula $E (k)$ pentru un număr natural $k$ .
b)
Observă că $E (k)$ poate fi scris sub forma $k (k + 1)$ pentru $k \geq 1$ . Apoi, descompune fracția $\frac{1}{k ( k + 1 )}$ într-o diferență de două fracții, folosind descompunerea în fracții simple.
b)
Calculează suma parțială a seriei telescopice rezultate și egalează rezultatul cu $\frac{2021}{2022}$ pentru a-l determina pe $n$ .