Matematică

Triunghiul — Subiectul III. 6

greuEvaluare Națională 2022 · Varianta Test 2

TriunghiulPatrulatereCorpuri geometrice

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră

V A B C D

cu baza pătratul

A B C D

A B = 6

cm. Înălțimea

V O

a piramidei are lungimea egală cu

4

cm, unde

O

este punctul de intersecție a dreptelor

A C

și

B D

a)
Arată că aria laterală a piramidei $V A B C D$ este egală cu $60$ cm $^{2}$ .
b)
Calculează distanța de la punctul $Q$ la planul $(V A D)$ , unde $Q$ este mijlocul segmentului $O C$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Aria laterală a unei piramide regulate este suma ariilor fețelor laterale. Deoarece baza este un pătrat și înălțimea cade în centrul bazei, piramida este regulată, deci fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.
a)
Aria unui triunghi este $A = \frac{baz a ˘ \times ı ˆ n a ˘ l ț ime}{2}$ . Pentru fețele laterale, baza este latura pătratului ( $A B = 6$ cm), iar înălțimea este apotema piramidei.
a)
Pentru a calcula apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale, de exemplu din $V$ pe $A D$ în $△ V A D$ ), poți folosi teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic format de înălțimea piramidei ( $V O$ ), jumătate din latura bazei (de exemplu, $O M$ unde $M$ este mijlocul lui $A D$ ) și apotema piramidei ( $V M$ ). Identifică acest triunghi dreptunghic.
b)
Distanța de la un punct la un plan se poate calcula prin construirea perpendicularei din punct pe plan. Pentru a simplifica, se poate calcula distanța de la un punct 'mai simplu' (cum ar fi $O$ ) la planul $(V A D)$ , apoi se folosesc proprietăți de proporționalitate.
b)
Pentru a găsi distanța de la $O$ la planul $(V A D)$ , construiește o perpendiculară din $O$ pe $A D$ (fie $O M$ , unde $M$ este mijlocul lui $A D$ ). Apoi, folosește teorema celor trei perpendiculare pentru a arăta că înălțimea din $O$ în triunghiul dreptunghic $V O M$ (fie $O S ⊥ V M$ ) este distanța de la $O$ la planul $(V A D)$ .
b)
Calculează $O S = d (O, (V A D))$ folosind formula înălțimii într-un triunghi dreptunghic: $O S = \frac{V O \cdot O M}{V M}$ . Apoi, observă că punctele $A, O, Q$ sunt coliniare și $A$ aparține planului $(V A D)$ . Folosește raportul $A Q / A O$ pentru a determina distanța de la $Q$ la planul $(V A D)$ , ținând cont că $Q$ este mijlocul lui $O C$ și $O$ este mijlocul lui $A C$ .