Matematică

Numere naturale și divizibilitate, Subiectul III. 1

greuEvaluare Națională 2022 · Varianta Model

Numere naturale și divizibilitate

Radu are o pungă cu bomboane. Dacă împarte bomboanele din pungă în grupe de câte

7

14

, respectiv

21

de bomboane, îi rămân de fiecare dată câte

5

bomboane.

a)
Este posibil ca Radu să aibă în pungă $61$ de bomboane? Justifică răspunsul dat.
b)
Determină numărul bomboanelor din pungă, știind că este cel mai mic număr natural de trei cifre care îndeplinește condițiile din enunț.

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a verifica dacă 61 de bomboane îndeplinesc condițiile, trebuie să verifici dacă împărțirea lui 61 la fiecare dintre numerele date (7, 14, 21) lasă restul 5.
a)
Folosește teorema împărțirii cu rest, care afirmă că pentru orice numere naturale $a$ și $b$ cu $b \neq = 0$ , există numere naturale unice $q$ și $r$ astfel încât $a = b q + r$ , unde $0 \leq r < b$ .
a)Calculează restul împărțirii lui 61 la 21 și compară-l cu 5 pentru a justifica răspunsul.
b)
Condițiile din enunț pot fi exprimate folosind congruențe sau relații de divizibilitate: $N \equiv 5 (mod 7)$ , $N \equiv 5 (mod 14)$ și $N \equiv 5 (mod 21)$ . Aceasta înseamnă că $N - 5$ este divizibil cu 7, 14 și 21.
b)
Dacă $N - 5$ este divizibil cu 7, 14 și 21, atunci $N - 5$ este un multiplu comun al acestor numere. Pentru a găsi cel mai mic număr $N$ , trebuie să găsești cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numerelor 7, 14 și 21.
b)
Calculează c.m.m.m.c. al numerelor 7, 14 și 21. Apoi, determină cel mai mic număr natural de trei cifre care are forma $c . m . m . m . c . \cdot k + 5$ , unde $k$ este un număr natural.