Matematică

Triunghiul — Subiectul III. 4

greuEvaluare Națională 2021 · Varianta Test 8

TriunghiulPatrulatere

În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel

A B C D

A B ∥ C D

A B = 24 cm

C D = 8 cm

și

A D = 10 cm

. Dreptele

A D

și

B C

se intersectează în punctul

E

, iar punctele

M

și

N

sunt situate pe dreapta

A B

astfel încât

D M ⊥ A B

și

E N ⊥ A B

a)
Arată că segmentul $E N$ este de lungime $9 cm$ .
b)
Știind că $G$ este punctul de intersecție a dreptelor $E N$ și $M C$ , demonstrează că $G$ este centrul de greutate al triunghiului $A B E$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula lungimea segmentului $E N$ , începeți prin a identifica proprietățile triunghiului $A B E$ și ale trapezului $A B C D$ .
a)
Folosiți faptul că $A B C D$ este un trapez isoscel pentru a determina lungimea segmentului $A M$ , apoi calculați înălțimea $D M$ a trapezului folosind teorema lui Pitagora. Apoi, utilizați asemănarea triunghiurilor $△ E A B$ și $△ E D C$ și raportul înălțimilor lor.
a)
Calculați $A M = (A B - C D) /2$ și apoi $D M = A D^{2} - A M^{2}$ . Apoi, știind că $E N$ este înălțimea triunghiului $E A B$ și $E N - D M$ este înălțimea triunghiului $E D C$ , stabiliți raportul $E N / (E N - D M) = A B / C D$ .
b)
Pentru a demonstra că $G$ este centrul de greutate al triunghiului $A B E$ , trebuie să arătați că $E N$ este o mediană și că punctul $G$ împarte mediana $E N$ într-un anumit raport.
b)
Identificați că $E N$ este mediană în $△ A B E$ . Apoi, folosiți asemănarea unor triunghiuri formate de dreptele paralele $D M$ și $E N$ (sau $C D$ și $A B$ ) pentru a determina raportul în care $G$ împarte segmentul $E N$ .
b)
Considerați punctul $T$ ca intersecția dreptei $E N$ cu dreapta $C D$ . Arătați că $D M N T$ este un dreptunghi și calculați lungimile $M N$ și $T N$ . Apoi, utilizați asemănarea triunghiurilor $△ GN M$ și $△ GT C$ pentru a găsi raportul $GN / GT$ și, implicit, $GN$ în funcție de $E N$ .