Matematică

Triunghiul, Subiectul III. 6

greuEvaluare Națională 2021 · Varianta Test 6

TriunghiulCorpuri geometriceUnghiuri și dreptePatrulatere

În figura alăturată este reprezentat acoperișul unei case sub forma suprafeței laterale a piramidei patrulatere regulate

V A B C D

, de înălțime

V O = 3 m

, în care unghiul de înclinație a acoperișului, adică unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei are măsura egală cu

3 0^{\circ}

. Punctul

M

este mijlocul muchiei

B C

a)
Arată că $A B = 63 m$ .
b)
Știind că acoperișul este realizat din tablă și că proprietarul casei dorește să-l vopsească într-un singur strat cu vopsea specială pentru tablă care se vinde la bidon de 3 litri care costă 125 de lei și care, conform specificațiilor producătorului, acoperă $12 m^{2}$ la utilizarea unui litru, determină prețul minim pe care trebuie să-l achite proprietarul pentru cumpărarea cantității de vopsea necesară la bidon de 3 litri. (Pentru justificare, se poate folosi inegalitatea $1, 73 < 3 < 1, 74$ .)

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a determina lungimea laturii bazei, trebuie să identifici un triunghi dreptunghic relevant care implică înălțimea piramidei și unghiul de înclinație.
a)
Unghiul de înclinație de $3 0^{\circ}$ este $∠ V M O$ , unde $M$ este mijlocul laturii $B C$ , iar $O$ este centrul bazei. Folosește funcția tangentă în triunghiul dreptunghic $△ V O M$ .
a)
Calculează lungimea segmentului $O M$ folosind $V O = 3 m$ și $tan (3 0^{\circ}) = \frac{V O}{O M}$ . Apoi, ține cont că $O M$ este jumătate din lungimea laturii bazei, $A B$ , deoarece baza este un pătrat.
b)Pentru a calcula prețul vopselei, trebuie mai întâi să afli suprafața totală a acoperișului, care este de fapt aria laterală a piramidei.
b)
Aria laterală a unei piramide regulate este $A_{l} = \frac{P _{b} \cdot a _{p}}{2}$ , unde $P_{b}$ este perimetrul bazei, iar $a_{p}$ este apotema piramidei ( $V M$ ). Calculează apotema piramidei $V M$ folosind triunghiul dreptunghic $△ V O M$ și teorema lui Pitagora sau funcții trigonometrice.
b)
Calculează aria laterală a piramidei. Apoi, determină volumul total de vopsea necesar, știind că $1$ litru acoperă $12 m^{2}$ . Împarte volumul total la $3$ litri/bidon pentru a afla numărul de bidoane și rotunjește în sus la cel mai apropiat număr întreg, apoi înmulțește cu prețul unui bidon.