Matematică

Triunghiul — Subiectul III. 6

greuEvaluare Națională 2026 · Varianta Model

TriunghiulCorpuri geometrice

În figura alăturată este reprezentat cubul

A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

, cu

A B = 8 cm

. Punctele

M

N

și

P

sunt mijloacele muchiilor

A D

D C

, respectiv

D D^{'}

a)
Arată că aria triunghiului $M N P$ este egală cu $83 cm^{2}$ .
b)
Arată că distanța la punctul $D^{'}$ la planul $(M N P)$ este egală cu $\frac{4 3}{3} cm$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula aria triunghiului $M N P$ , trebuie să determinați lungimile laturilor sale. Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele unor muchii ale cubului.
a)
Folosiți teorema lui Pitagora în triunghiuri dreptunghice sau proprietatea liniei mijlocii în triunghiuri pentru a calcula lungimile segmentelor $M N$ , $N P$ și $M P$ . De exemplu, $M N$ este linie mijlocie în triunghiul $A D C$ .
a)
Calculați lungimea unei laturi a triunghiului $M N P$ , de exemplu $M N$ , știind că $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $A D$ și $D C$ . Apoi, determinați tipul triunghiului $M N P$ și aplicați formula corespunzătoare pentru arie.
b)
Distanța de la punctul $D^{'}$ la planul $(M N P)$ poate fi determinată prin relația sa cu distanța de la punctul $D$ la același plan. Observați poziția punctului $P$ pe muchia $D D^{'}$ .
b)
Deoarece $P$ este mijlocul segmentului $D D^{'}$ și $P$ aparține planului $(M N P)$ , distanța de la $D^{'}$ la planul $(M N P)$ este egală cu distanța de la $D$ la planul $(M N P)$ .
b)
Calculați volumul tetraedrului $D M N P$ folosind baza $△ D M N$ și înălțimea $D P$ . Apoi, egalați acest volum cu $\frac{1}{3} \cdot A_{M N P} \cdot h$ , unde $h$ este distanța căutată, iar $A_{M N P}$ este aria calculată la subpunctul a).

Corpuri geometrice, din alte variante, de la ușor la greu.