Matematică

Numere reale și radicali — Subiectul III. 2

greuEvaluare Națională 2025 · Varianta 2

Numere reale și radicali

Se consideră expresia

E (x) = (\frac{1}{x ^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2}) : \frac{1}{x ^{3} - 4 x}

, unde

x

este număr real,

x \neq = 0

x \neq = - 2

și

x \neq = 2

a)
Arată că $\frac{1}{x ^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 1}{( x + 2 ) ( x - 2 )}$ , pentru orice număr real $x$ , $x \neq = - 2$ și $x \neq = 2$ .
b)
Arată că numărul $N = E (2 - 1) + 3 \cdot E (2 + 1)$ este natural.

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a aduna două fracții, trebuie să le aduci la un numitor comun.
a)
Observă că primul numitor, $x^{2} - 4$ , este o diferență de pătrate. Scrie-l în formă factorizată.
a)
După factorizare, vei vedea că numitorul comun este $(x + 2) (x - 2)$ . Adu ambele fracții la acest numitor și efectuează adunarea.
b)
Pentru a calcula valoarea lui $N$ , este esențial să simplifici mai întâi expresia $E (x)$ la o formă cât mai simplă.
b)
Folosește rezultatul de la subpunctul a) pentru a simplifica prima parte a expresiei $E (x)$ . Apoi, factorizează $x^{3} - 4 x$ pentru a efectua împărțirea.
b)
După ce ai simplificat $E (x)$ la o formă mai ușor de calculat, înlocuiește pe $x$ cu $2 - 1$ și, respectiv, cu $2 + 1$ în expresia simplificată a lui $E (x)$ și calculează valoarea lui $N$ .