Matematică

Unghiuri și drepte, Subiectul III. 5

greuEvaluare Națională 2025 · Varianta 2

Unghiuri și drepteNumere reale și radicali

În figura alăturată este reprezentat pătratul

A B C D

, cu

A B = 8

cm. Punctul

T

aparține laturii

A D

, astfel încât măsura unghiului

A B T

este egală cu

3 0^{\circ}

. Perpendiculara din punctul

A

pe dreapta

B T

intersectează dreptele

B T

și

D C

în punctele

M

, respectiv

S

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a demonstra congruența segmentelor $A T$ și $D S$ , căutați două triunghiuri care le conțin și încercați să demonstrați că aceste triunghiuri sunt congruente.
a)
Analizați triunghiurile $△ A B T$ și $△ D A S$ . Identificați unghiurile și laturile egale, folosind proprietățile pătratului și informațiile despre unghiul $∠ A B T$ și perpendiculara $A M$ .
a)
Calculați măsura unghiului $∠ M A B$ în triunghiul dreptunghic $△ A M B$ și apoi măsura unghiului $∠ S A D$ . Folosiți un criteriu de congruență pentru a demonstra congruența triunghiurilor $△ A B T$ și $△ D A S$ .
b)
Pentru a determina lungimea segmentului $D M$ , descompuneți problema în pași, folosind proprietățile triunghiurilor dreptunghice formate și funcțiile trigonometrice.
b)
Calculați lungimea segmentului $A M$ în triunghiul dreptunghic $△ A M B$ , folosind faptul că $A B = 8$ cm și $∠ A B M = 3 0^{\circ}$ . Apoi, construiți o perpendiculară din $M$ pe $A D$ , notând piciorul perpendicularei cu $Q$ .
b)
În triunghiul dreptunghic $△ A M Q$ , calculați lungimile segmentelor $A Q$ și $M Q$ . Apoi, determinați lungimea lui $D Q = A D - A Q$ . În final, observați că $D M$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic $△ M D Q$ și comparați-o cu cateta $D Q$ .

Numere reale și radicali, din alte variante, de la ușor la greu.