Matematică

Corpuri geometrice — Subiectul III. 6

greuEvaluare Națională 2021 · Varianta Test 1

Corpuri geometriceUnghiuri și drepteAsemănare și teorema lui Pitagora

În figura alăturată este reprezentat un cub

A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

A B = 6 c m

a)
Arată că valoarea cosinusului unghiului dintre dreapta $B D^{'}$ și planul $(A D C)$ este $\frac{6}{3}$ .
b)
Calculează distanța de la punctul $A^{'}$ la planul $(B C^{'} D^{'})$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția sa pe acel plan.
a)
Determină proiecția dreptei $B D^{'}$ pe planul $(A D C)$ , care este de fapt planul bazei $(A B C D)$ .
a)
Calculează lungimile laturilor triunghiului dreptunghic format de dreapta $B D^{'}$ , proiecția sa $B D$ și segmentul $D D^{'}$ , apoi folosește definiția cosinusului în triunghiul $△ D^{'} D B$ .
b)
Observă că dreapta $A^{'} D$ este paralelă cu dreapta $B C^{'}$ , ceea ce implică faptul că dreapta $A^{'} D$ este paralelă cu planul $(B C^{'} D^{'})$ . Astfel, distanța de la $A^{'}$ la planul $(B C^{'} D^{'})$ este egală cu distanța de la punctul $D$ la același plan.
b)
Pentru a calcula distanța de la $D$ la planul $(B C^{'} D^{'})$ , folosește formula volumului unui tetraedru, $V = \frac{1}{3} \cdot A_{ba z \overset{a}{˘}} \cdot h$ , aplicată tetraedrului $D B C^{'} D^{'}$ în două moduri.
b)
Calculează aria triunghiului $B C^{'} D^{'}$ (observă că este un triunghi dreptunghic, $C^{'} D^{'} ⊥ B C^{'}$ ) și volumul tetraedrului $D B C^{'} D^{'}$ considerând baza $D B C$ și înălțimea $D D^{'}$ . Apoi egalează cele două expresii pentru volum pentru a afla înălțimea căutată.