Matematică

Triunghiul — Subiectul III. 6

greuEvaluare Națională 2021 · Varianta Test 11

TriunghiulCorpuri geometrice

În figura alăturată paralelipipedul dreptunghic

A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

reprezintă un acvariu cu dimensiunile

A B = 60 cm

B C = 40 cm

și înălțimea

A A^{'} = 60 cm

. Apa din acvariu are adâncimea de

50 cm

a)
Arată că în acvariu sunt $120$ de litri de apă.
b)
Se consideră punctul $M$ pe muchia $B B^{'}$ a paralelipipedului, astfel încât perimetrul triunghiului $A^{'} M C^{'}$ să aibă cea mai mică valoare. Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(A B C)$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula volumul de apă dintr-un acvariu (care este un paralelipiped dreptunghic), trebuie să folosiți formula volumului unui paralelipiped.
a)
Formula volumului unui paralelipiped dreptunghic este $V = L \times W \times H$ , unde $L$ și $W$ sunt dimensiunile bazei, iar $H$ este înălțimea apei.
a)
Identificați dimensiunile bazei acvariului ( $A B$ și $B C$ ) și adâncimea apei. Calculați volumul în $c m^{3}$ și apoi convertiți-l în litri, știind că $1 litru = 1 dm^{3}$ și $1 dm^{3} = 1000 cm^{3}$ .
b)
Perimetrul triunghiului $A^{'} M C^{'}$ este suma lungimilor laturilor sale: $A^{'} M + M C^{'} + A^{'} C^{'}$ . Deoarece lungimea segmentului $A^{'} C^{'}$ este constantă, minimizarea perimetrului revine la minimizarea sumei $A^{'} M + M C^{'}$ .
b)Pentru a minimiza suma lungimilor a două segmente care se întâlnesc într-un punct pe o dreaptă (sau muchie, în acest caz), se folosește adesea metoda desfășurării (unfolding) fețelor corpului geometric într-un plan.
b)
Desfășurați fețele $A B B^{'} A^{'}$ și $B C C^{'} B^{'}$ într-un singur plan, astfel încât $M$ să se afle pe o linie dreaptă. În acest plan, punctele $A^{'}$ , $M$ și $C^{'}$ trebuie să fie coliniare pentru ca suma $A^{'} M + M C^{'}$ să fie minimă. Determinați coordonatele punctelor în planul desfășurat și folosiți condiția de coliniaritate pentru a găsi poziția lui $M$ pe $B B^{'}$ , care va da distanța cerută.