Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta 1 · mate-info

Primitive și integraleLimite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuațiiNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : (- 1, + \infty) \to R

f (x) = \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{3}}

a)
Arătați că $\int_{0}^{3} f (x) (x + 1)^{3} d x = 9$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} f (x) (x + 1) d x = 1 - ln 2$ .
c)
Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g : R \to R$ , $g (x) = \frac{f ( e ^{x} )}{e ^{x}}$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = - 1$ și $x = 1$ este egală cu $\frac{e - 1}{2 ( e + 1 )}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Primul pas este să înlocuiești expresia funcției $f (x)$ în integrală și să simplifici termenii.
a)
După simplificare, vei obține o integrală definită a unei funcții putere simple. Folosește regula de integrare $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
a)Calculează integrala definită evaluând primitiva în limitele superioară și inferioară, conform formulei lui Leibniz-Newton.
b)
Substituie expresia funcției $f (x)$ în integrală și simplifică. Ar trebui să obții o funcție rațională simplă, de forma $\frac{x}{x + 1}$ .
b)
Pentru a integra o funcție de forma $\frac{x}{x + 1}$ , rescrie numărătorul în funcție de numitor: $x = (x + 1) - 1$ . Astfel, poți descompune fracția în termeni mai simpli.
b)
Integrează termenii obținuți folosind proprietățile de bază ale integralelor, cum ar fi $\int 1 d x = x$ și $\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣ + C$ . Apoi, evaluează integrala definită în limitele date.
c)
Aria suprafeței plane este dată de integrala definită $\int_{a}^{b} ∣ g (x) ∣ d x$ . Începe prin a determina forma explicită a funcției $g (x)$ prin substituirea lui $f (e^{x})$ .
c)
După simplificarea lui $g (x)$ , vei obține $g (x) = \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{3}}$ . Observă că $g (x) \geq 0$ pe intervalul de integrare, deci poți renunța la valoarea absolută. Pentru a calcula integrala, folosește substituția $u = e^{x} + 1$ .
c)
Modifică limitele de integrare corespunzător substituției $u = e^{x} + 1$ . Integrala va deveni de forma $\int u^{- 3} d u$ , pe care o poți calcula folosind regula de integrare a puterilor, apoi evaluează rezultatul în noile limite.

Exersează același capitol

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 27 de exerciții din Limite și continuitate →