Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta 7 · mate-info

Primitive și integraleLimite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (- 2, + \infty) \to R

f (x) = 4 x^{3} + \frac{1}{x + 2}

a)
Arătați că $\int_{1}^{2} (f (x) - \frac{1}{x + 2}) d x = 15$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{e} \frac{4 l n x}{f ( x ) - 4 x ^{3}} d x = e^{2} + 9$ .
c)
Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g : (- 2, + \infty) \to R$ , $g (x) = f (e^{x}) - 4 e^{3 x}$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 0$ și $x = 1$ este egală cu $\frac{1}{2} ln \frac{3 e}{e + 2}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula integrala, începeți prin a înlocui expresia funcției $f (x)$ în integrală.
a)Simplificați expresia din interiorul integralei după înlocuire. Ce termen(i) rămân?
a)
Calculați integrala definită a funcției $4 x^{3}$ pe intervalul $[1, 2]$ folosind formula de integrare pentru puteri.
b)
Simplificați numitorul fracției din integrală, folosind definiția funcției $f (x)$ .
b)
După simplificare, integrala devine $\int_{1}^{e} 4 (x + 2) ln x d x$ . Folosiți metoda integrării prin părți, alegând $u = ln x$ și $d v = 4 (x + 2) d x$ .
b)
Calculați $d u$ și $v$ , apoi aplicați formula integrării prin părți: $\int u d v = uv - \int v d u$ .
c)
Determinați expresia explicită a funcției $g (x)$ înlocuind $x$ cu $e^{x}$ în $f (x)$ și simplificând.
c)
Aria suprafeței este dată de integrala $\int_{0}^{1} ∣ g (x) ∣ d x$ . Asigurați-vă că $g (x)$ este pozitivă pe intervalul $[0, 1]$ pentru a elimina modulul.
c)
Pentru a calcula integrala $\int_{0}^{1} \frac{1}{e ^{x} + 2} d x$ , puteți folosi o tehnică de descompunere sau o substituție. O metodă eficientă este să rescrieți integrandul ca $\frac{1}{2} (1 - \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 2})$ .

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.