Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta 2 · mate-info

Primitive și integraleLimite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = 6 + \frac{1}{x} + \frac{l n ^{2} x}{x}

a)
Arătați că $\int_{1}^{3} (f (x) - \frac{l n ^{2} x}{x}) d x = 12 + ln 3$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{e} (f (x) - 6 - \frac{1}{x}) d x = \frac{1}{3}$ .
c)
Determinați numărul real $m$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{f ( x ) - 6}{x}$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = e$ este egală cu $m (1 - \frac{2}{e})$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începe prin a simplifica expresia de sub integrală, $f (x) - \frac{l n ^{2} x}{x}$ , folosind definiția funcției $f (x)$ .
a)
Calculează o primitivă a funcției simplificate, amintindu-ți primitivele funcțiilor de tip constantă și $\frac{1}{x}$ .
a)
Aplică formula lui Barrow pentru a evalua integrala definită, calculând valoarea primitivei în limitele de integrare $1$ și $3$ .
b)
Simplifică expresia de sub integrală, $f (x) - 6 - \frac{1}{x}$ , folosind definiția funcției $f (x)$ .
b)
Pentru a calcula primitiva funcției obținute, gândește-te la o substituție adecvată, de exemplu $u = ln x$ , și la formula de integrare pentru puteri.
b)
Aplică formula lui Barrow pentru a evalua integrala definită, ținând cont de valorile $ln 1$ și $ln e$ .
c)
Începe prin a simplifica expresia funcției $g (x) = \frac{f ( x ) - 6}{x}$ folosind definiția lui $f (x)$ . Apoi, scrie formula ariei suprafeței plane ca o integrală definită pe intervalul $[1, e]$ .
c)
Calculează integrala definită a funcției $g (x)$ pe intervalul $[1, e]$ . Va trebui să folosești integrarea prin părți, posibil de două ori, pentru termenul care conține $ln^{2} x$ .
c)
Egalizează valoarea ariei calculate cu expresia dată $m (1 - \frac{2}{e})$ și rezolvă ecuația pentru a determina numărul real $m$ .

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.