Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta 1 · mate-info

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = 2 x + ln \frac{x}{x + 2}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 1 ) ^{2}}{x ( x + 2 )}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .
c)
Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei sume de funcții, derivați fiecare termen în parte.
a)
Reamintiți-vă formula de derivare a funcției logaritmice compuse: $(ln u (x))^{'} = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}$ .
a)
Aplicați regula de derivare a unui cât pentru termenul $u (x) = \frac{x}{x + 2}$ și apoi înlocuiți în formula derivatei logaritmului.
b)
Pentru a determina ecuația asimptotei oblice spre $+ \infty$ , trebuie să calculați coeficienții $m$ și $n$ .
b)
Reamintiți-vă formulele pentru $m = lim_{x \to \infty} \frac{f ( x )}{x}$ și $n = lim_{x \to \infty} (f (x) - m x)$ .
b)
Calculați mai întâi limita pentru $m$ , înlocuind expresia funcției $f (x)$ și simplificând.
c)Pentru a demonstra că o funcție este bijectivă, trebuie să arătați că este atât injectivă, cât și surjectivă.
c)
Injectivitatea poate fi demonstrată arătând că funcția este strict monotonă (folosind semnul derivatei $f^{'} (x)$ ), iar surjectivitatea se demonstrează calculând limitele funcției la capetele domeniului de definiție și invocând continuitatea.
c)
Folosiți rezultatul de la subpunctul a) pentru a stabili monotonia funcției și calculați limitele funcției $f (x)$ când $x \to 0^{+}$ și când $x \to + \infty$ .

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.