Matematică

Primitive și integrale, Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · mate-info

Primitive și integraleLimite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{4 x}{3 x ^{2} + 1}

a)
Arătați că $\int_{3}^{4} f (x) (3 x^{2} + 1) d x = 14$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{4}{3} ln 2$ .
c)
Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{4 l n x}{f ( x )}$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = e$ este egală cu $\frac{3 e ^{2} + 5}{4}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Primul pas este să înlocuiți expresia funcției $f (x)$ în integrală.
a)După înlocuire, simplificați expresia sub integrală și apoi calculați primitiva funcției rezultate.
a)
Aplicați formula de integrare pentru puteri, $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ , și apoi Teorema Fundamentală a Calculului Integral pentru a evalua integrala definită.
b)
Această integrală definită implică o funcție rațională. Căutați o formă de tipul $\int \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} d x$ .
b)
Observați că derivata numitorului $3 x^{2} + 1$ este $6 x$ . Puteți rescrie numărătorul pentru a se potrivi cu această formă.
b)
Folosiți substituția $u = 3 x^{2} + 1$ sau recunoașteți că $\int \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} d x = ln ∣ u (x) ∣ + C$ , apoi evaluați integrala definită în limitele date.
c)
Aria suprafeței plane delimitate de graficul unei funcții $g (x)$ , axa $O x$ și dreptele $x = a$ , $x = b$ este dată de formula $A = \int_{a}^{b} ∣ g (x) ∣ d x$ . Deoarece $x \in (0, + \infty)$ , $ln x$ este pozitiv pentru $x > 1$ și negativ pentru $x < 1$ . Pe intervalul $[1, e]$ , $ln x \geq 0$ , iar $f (x) > 0$ , deci $g (x) \geq 0$ .
c)
Începeți prin a simplifica expresia funcției $g (x)$ înlocuind $f (x)$ . Veți obține $g (x) = \frac{( 3 x ^{2} + 1 ) l n x}{x}$ . Apoi, scrieți integrala pentru a calcula aria.
c)
Separați integrala în două termeni: $\int_{1}^{e} (3 x + \frac{1}{x}) ln x d x$ . Pentru a rezolva integrala, folosiți integrarea prin părți, $\int u v^{'} d x = uv - \int u^{'} v d x$ , alegând $u = ln x$ .

Indicii

Exersează același capitol