Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · mate-info

Primitive și integraleLimite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{4 x}{3 x ^{2} + 1}

a)
Arătați că $\int_{3}^{4} f (x) (3 x^{2} + 1) d x = 14$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{4}{3} ln 2$ .
c)
Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{4 l n x}{f ( x )}$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = e$ este egală cu $\frac{3 e ^{2} + 5}{4}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Începeți prin a substitui expresia funcției f(x) în integrală și simplificați termenii înainte de a calcula primitiva.
a)Observați că termenul (3x^2 + 1) de la numitorul lui f(x) se simplifică cu cel din expresia integrală. Apoi, integrați funcția rezultată folosind formula pentru puterea lui x.
a)După simplificare, veți avea de calculat integrala definită a funcției 4x de la 3 la 4. Aplicați Formula Leibniz-Newton pentru a evalua integrala.
b)Pentru a calcula această integrală definită, căutați o formă de integrare cunoscută, cum ar fi integrala de tipul ∫ u'(x)/u(x) dx.
b)Funcția f(x) = 4x / (3x^2 + 1) poate fi rescrisă pentru a se potrivi formei ∫ k * u'(x)/u(x) dx, unde u(x) = 3x^2 + 1. Calculați derivata lui u(x) și ajustați constanta.
b)Identificați u(x) = 3x^2 + 1. Calculați u'(x) și rescrieți integrandul. Apoi, calculați primitiva de forma k * ln|u(x)| și evaluați-o între limitele 0 și 1.
c)Primul pas este să simplificați expresia funcției g(x) folosind definiția lui f(x). Aceasta vă va permite să determinați forma exactă a funcției de integrat.
c)După simplificarea lui g(x) la forma (3x + 1/x)ln x, veți calcula aria ca o integrală definită. Folosiți metoda integrării prin părți (∫ u dv = uv - ∫ v du), alegând u = ln x.
c)Alegeți u = ln x și dv = (3x + 1/x) dx. Calculați du și v. Aplicați formula de integrare prin părți și evaluați rezultatul între limitele 1 și e, ținând cont că ln 1 = 0 și ln e = 1.