Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta Simulare · mate-info

Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuațiiNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : (1, + \infty) \to R

f (x) = \frac{e ^{x - 2}}{x - 1}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{e ^{x - 2} ( 2 x - 3 )}{2 ( x - 1 ) x - 1}$ , $x \in (1, + \infty)$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to 2} (f (x))^{\frac{1}{x - 2}} = e$ .
c)
Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f (x) = m x$ are exact două soluții.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata unei funcții de forma $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ , trebuie să aplicați regula de derivare a câtului.
a)
Formula pentru derivata câtului este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . De asemenea, rețineți că $(e^{g (x)})^{'} = g^{'} (x) e^{g (x)}$ și $(h (x))^{'} = \frac{h ^{'} ( x )}{2 h ( x )}$ .
a)
Calculați derivatele lui $u (x) = e^{x - 2}$ și $v (x) = x - 1$ , apoi înlocuiți-le în formula derivatei câtului și simplificați expresia.
b)
Observați că, atunci când $x \to 2$ , baza limitei $f (x)$ tinde către $1$ , iar exponentul $\frac{1}{x - 2}$ tinde către $\infty$ . Aceasta este o formă nedeterminată de tipul $1^{\infty}$ .
b)
Pentru a rezolva o limită de forma $1^{\infty}$ , folosiți proprietatea $lim_{x \to a} (u (x))^{v (x)} = e^{l i m_{x \to a} v (x) (u (x) - 1)}$ , unde $lim_{x \to a} u (x) = 1$ și $lim_{x \to a} v (x) = \infty$ .
b)
Calculați $f (x) - 1$ și apoi limita produsului $(f (x) - 1) \cdot \frac{1}{x - 2}$ . Puteți folosi regula lui L'Hôpital dacă este necesar pentru a evalua această limită.
c)
Pentru a determina numărul de soluții ale ecuației $f (x) = m x$ , este util să rescrieți ecuația sub forma $g (x) = m$ , unde $g (x) = \frac{f ( x )}{x}$ . Apoi analizați variația funcției $g (x)$ .
c)
Studiați funcția $g (x) = \frac{e ^{x - 2}}{x x - 1}$ prin calcularea limitelor la capetele domeniului de definiție $(1, + \infty)$ și prin determinarea punctelor critice cu ajutorul derivatei $g^{'} (x)$ .
c)
Construiți tabelul de variație al funcției $g (x)$ și identificați valoarea minimă locală. Ecuația $g (x) = m$ va avea exact două soluții dacă $m$ este strict mai mare decât această valoare minimă.

Exersează același capitol

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 52 de exerciții din Derivate și funcții →