Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta 3 · științe ale naturii

Primitive și integraleNumere reale și radicaliLimite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (- 1, + \infty) \to R

f (x) = (2 x^{2} + 4 x) x + 1

a)
Arătați că $\int_{0}^{3} \frac{f ( x )}{x + 1} d x = 36$ .
b)
Arătați că $\int_{3}^{8} \frac{x ^{2} + 2 x}{f ( x )} d x = 1$ .
c)
Se consideră funcția $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{4 x + 1}{f ( x )}$ . Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = 4$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula integrala, începe prin a simplifica expresia de sub integrală, înlocuind $f (x)$ cu forma sa dată.
a)
Observă că termenul $x + 1$ se va simplifica, lăsând un polinom de gradul doi.
a)
Integrează polinomul rezultat folosind formula de integrare pentru puteri, $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ , și apoi aplică formula lui Leibniz-Newton pentru a evalua integrala definită.
b)
Simplifică fracția de sub integrală, înlocuind $f (x)$ cu expresia sa.
b)
Factorizează numitorul $2 x^{2} + 4 x$ pentru a observa o simplificare cu numărătorul $x^{2} + 2 x$ . Expresia va deveni de forma $\frac{C}{x + 1}$ .
b)
Rescrie $\frac{1}{x + 1}$ ca $(x + 1)^{- 1/2}$ și folosește formula de integrare pentru puteri, $\int u^{n} u^{'} d x = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} + C$ , unde $u = x + 1$ .
c)
Pentru a determina aria, trebuie să calculezi integrala definită a funcției $g (x)$ pe intervalul $[1, 4]$ . Începe prin a simplifica expresia funcției $g (x)$ folosind $f (x)$ .
c)
Substituie $f (x)$ în expresia lui $g (x) = \frac{4}{f ( x )}$ și simplifică. Vei obține o funcție rațională de forma $\frac{A}{x ( x + B )}$ .
c)
Descompune funcția rațională $g (x) = \frac{2}{x ( x + 2 )}$ în fracții simple (parțiale) și apoi integrează fiecare termen, folosind faptul că $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.