Matematică

Polinoame — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 1 · mate-info

Polinoame

Se consideră polinomul

f = a X^{3} + 3 X^{2} - a X - 6

, unde

a

este număr real nenul.

a)
Arătați că $f (1) = - 3$ , pentru orice număr real nenul $a$ .
b)
Pentru $a = 1$ , determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X^{2} + 3 X - 1$ .
c)
Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) (1 + x_{3}) = 1$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula valoarea unui polinom într-un punct dat, trebuie să înlocuiți variabila polinomului cu valoarea respectivă.
a)
Înlocuiți $X$ cu $1$ în expresia polinomului $f (X) = a X^{3} + 3 X^{2} - a X - 6$ .
a)
Efectuați calculele algebrice rezultate, grupând termenii care conțin $a$ și termenii constanți.
b)Pentru a determina câtul și restul împărțirii a două polinoame, puteți folosi algoritmul de împărțire a polinoamelor.
b)
Mai întâi, înlocuiți $a = 1$ în polinomul $f (X)$ , obținând $f (X) = X^{3} + 3 X^{2} - X - 6$ . Apoi, începeți împărțirea lui $f (X)$ la $g (X) = X^{2} + 3 X - 1$ .
b)
Primul termen al câtului se obține împărțind termenul de grad maxim al lui $f (X)$ la termenul de grad maxim al lui $g (X)$ .
c)
Produsul $(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) (1 + x_{3})$ poate fi exprimat în funcție de coeficienții polinomului sau de valoarea polinomului într-un punct specific.
c)
Folosiți relația generală care leagă produsul $(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) (1 + x_{3})$ de $f (- 1)$ și coeficientul dominant al polinomului.
c)
Calculați $f (- 1)$ și apoi utilizați formula $- \frac{f ( - 1 )}{a} = 1$ pentru a determina valoarea lui $a$ .

Polinoame, din alte variante, de la ușor la greu.