Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 1 · mate-info

Matrice și sisteme

Se consideră matricea

A (x) = 2 - 3 x 0 - 9 x 020 x 0 2 + 3 x

, unde

x

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (1)) = 8$ .
b)
Arătați că $A (x) \cdot A (y) = 2 A (x + y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
c)
Determinați numerele reale $x$ pentru care $(A (x) + A (3 x)) \cdot A (2 x) = 4 A (x^{2})$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula $det (A (1))$ , primul pas este să înlocuiești valoarea $x = 1$ în expresia matricei $A (x)$ .
a)Reține formula de calcul a determinantului unei matrice de ordinul 3. Poți folosi regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie/coloană.
a)
După ce ai obținut matricea $A (1)$ , aplică regula lui Sarrus: înmulțește elementele de pe diagonalele principale și secundare și efectuează suma/diferența corespunzătoare.
b)
Pentru a demonstra egalitatea, trebuie să efectuezi înmulțirea matricelor din membrul stâng, $A (x) \cdot A (y)$ , și să compari rezultatul cu membrul drept, $2 A (x + y)$ .
b)
Reamintește-ți cum se înmulțesc două matrice: un element $(i, j)$ din matricea produs este suma produselor elementelor de pe linia $i$ a primei matrice cu elementele de pe coloana $j$ a celei de-a doua matrice.
b)
Calculează fiecare element al matricei produs $A (x) \cdot A (y)$ și apoi verifică dacă rezultatul obținut este egal cu $2 A (x + y)$ , înlocuind $x$ cu $x + y$ în expresia matricei $A (x)$ .
c)Începe prin a simplifica membrul stâng al ecuației. Folosește proprietățile de adunare a matricelor și rezultatul demonstrat la subpunctul b).
c)
Calculează explicit $A (x) + A (3 x)$ și observă că rezultatul poate fi scris sub forma $2 A (k x)$ pentru un anumit $k$ . Apoi, aplică proprietatea de la punctul b) pentru produsul de matrice.
c)
După ce ai simplificat ambii membri ai ecuației, vei ajunge la o egalitate de forma $A (m) = A (n)$ . Ce înseamnă acest lucru pentru argumentele $m$ și $n$ ale funcției matriceale $A$ ?

Exersează același capitol

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 102 exerciții din Matrice și sisteme →