Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta 7 · mate-info

Derivate și funcțiiEcuații și inecuațiiNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 2 2 x^{2} + 1 - 3 ln (2 x^{2} + 1)

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{4 x ( 2 x ^{2} + 1 - 3 )}{2 x ^{2} + 1}$ , $x \in R$ .
b)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c)
Demonstrați că ecuația $f (x) = m$ are exact două soluții, pentru orice $m \in (2, + \infty)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata funcției $f (x)$ , va trebui să aplici regulile de derivare pentru sumă/diferență de funcții și regula lanțului (chain rule) pentru funcții compuse.
a)
Reamintește-ți formulele de derivare pentru funcții de tipul $u$ și $ln u$ : $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ și $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ .
a)
Aplică aceste formule pentru fiecare termen al funcției $f (x)$ și apoi adu la același numitor pentru a obține forma cerută a derivatei $f^{'} (x)$ .
b)
Ecuația tangentei la graficul unei funcții $f$ într-un punct de abscisă $x_{0}$ este dată de formula $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
b)
Calculează valoarea funcției $f (x)$ în punctul de abscisă $x_{0} = 0$ și valoarea derivatei $f^{'} (x)$ în $x_{0} = 0$ .
b)
Substituie valorile calculate $f (0)$ și $f^{'} (0)$ în formula ecuației tangentei pentru a obține ecuația finală a dreptei.
c)
Pentru a demonstra numărul de soluții al ecuației $f (x) = m$ , este necesar să studiezi variația funcției $f$ folosind prima derivată $f^{'} (x)$ .
c)
Determină punctele critice rezolvând ecuația $f^{'} (x) = 0$ , stabilește intervalele de monotonie ale funcției și calculează limitele funcției la $\pm \infty$ , precum și valorile funcției în punctele de extrem local.
c)
Folosește tabelul de variație și valorile calculate pentru a schița graficul calitativ al funcției $f$ și a determina câte intersecții are dreapta orizontală $y = m$ cu graficul funcției pentru $m \in (2, + \infty)$ .

Exersează același capitol

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 52 de exerciții din Derivate și funcții →