Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta 3 · mate-info

Derivate și funcțiiGeometrie analiticăEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{x ^{3} - 4 x}{x ^{2} + 5}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} + 20 )}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}}$ , $x \in R$ .
b)
Arătați că dreapta de ecuație $y = x$ este asimptota oblică spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .
c)
Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f (x) = m$ are exact trei soluții.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata unei funcții raționale de forma $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ , folosiți regula de derivare a câtului.
a)
Formula de derivare a câtului este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Identificați $u (x) = x^{3} - 4 x$ și $v (x) = x^{2} + 5$ și calculați derivatele acestora, $u^{'} (x)$ și $v^{'} (x)$ .
a)
După aplicarea formulei, efectuați calculele și simplificările algebrice necesare la numărător pentru a ajunge la forma $(x^{2} - 1) (x^{2} + 20)$ . Nu uitați să factorizați expresia obținută la numărător.
b)
O dreaptă $y = m x + n$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ dacă există și sunt finite limitele $m = lim_{x \to \infty} \frac{f ( x )}{x}$ și $n = lim_{x \to \infty} (f (x) - m x)$ .
b)
Deoarece se cere să arătați că $y = x$ este asimptotă, înseamnă că $m = 1$ și $n = 0$ . Verificați aceste valori calculând direct limita $n = lim_{x \to \infty} (f (x) - x)$ .
b)
Substituiți $f (x)$ în expresia $f (x) - x$ , aduceți la același numitor și calculați limita obținută. Ar trebui să obțineți $0$ pentru ca dreapta $y = x$ să fie asimptotă oblică.
c)
Numărul de soluții ale ecuației $f (x) = m$ este dat de numărul de intersecții dintre graficul funcției $f$ și dreapta orizontală $y = m$ . Analizați variația funcției $f$ folosind derivata.
c)
Determinați punctele critice ale funcției $f$ rezolvând ecuația $f^{'} (x) = 0$ . Folosiți forma factorizată a lui $f^{'} (x)$ de la subpunctul a) pentru a găsi rădăcinile lui $f^{'} (x)$ .
c)
Calculați valorile funcției $f$ în punctele critice (extremele locale) și limitele la capetele domeniului de definiție. Construiți un tabel de variație și schițați graficul pentru a identifica intervalele de valori ale lui $m$ pentru care dreapta $y = m$ intersectează graficul în exact trei puncte.

Exersează același capitol

Ecuații și inecuații, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 136 de exerciții din Ecuații și inecuații →