Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta Model · mate-info

Derivate și funcțiiGeometrie analiticăEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = x + ln^{2} x - x ln x

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{( 2 - x ) l n x}{x}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu axa $O x$ .
c)
Demonstrați că ecuația $f (x) = 0$ are soluție unică.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata funcției $f (x)$ , va trebui să aplicați regulile de derivare pentru sume, produse și funcții compuse.
a)
Reamintiți-vă formulele de derivare pentru funcții elementare: $(x)^{'} = 1$ , $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ , și regula lanțului pentru $(ln^{2} x)^{'} = ((ln x)^{2})^{'}$ . De asemenea, folosiți regula produsului pentru $(x ln x)^{'}$ .
a)
Calculați derivata fiecărui termen: $(x)^{'}$ , $(ln^{2} x)^{'}$ și $(x ln x)^{'}$ . Apoi, adunați și simplificați expresiile obținute pentru a ajunge la forma cerută.
b)Panta tangentei la graficul unei funcții într-un punct este dată de valoarea derivatei funcției în acel punct.
b)
Dacă tangenta la grafic este paralelă cu axa $O x$ , înseamnă că panta acesteia este $0$ . Prin urmare, trebuie să egalați derivata funcției cu $0$ .
b)
Folosind expresia lui $f^{'} (x)$ obținută la subpunctul a), rezolvați ecuația $f^{'} (x) = 0$ pentru a găsi abscisele punctelor cerute.
c)
Pentru a demonstra că o ecuație $f (x) = 0$ are o soluție unică, se folosește de obicei o combinație între teorema lui Darboux (sau consecințe ale continuității) pentru existența soluției și analiza monotoniei funcției pentru unicitate.
c)
Analizați semnul lui $f^{'} (x)$ pe intervalul de definiție $(0, + \infty)$ pentru a determina intervalele de monotonie ale funcției $f$ . Calculați limitele funcției la capetele domeniului de definiție și valorile funcției în punctele critice.
c)
Determinați $lim_{x \to 0^{+}} f (x)$ , $f (1)$ și $lim_{x \to \infty} f (x)$ . Combinați aceste informații cu intervalele de monotonie pentru a deduce existența și unicitatea soluției.

Exersează același capitol

Ecuații și inecuații, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 136 de exerciții din Ecuații și inecuații →