Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta 2 · mate-info

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (- 1, + \infty) \to R

f (x) = \frac{e ^{x} + 2 x + 1}{x + 1}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{x e ^{x} + 1}{( x + 1 ) ^{2}}$ , $x \in (- 1, + \infty)$ .
b)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c)
Demonstrați că funcția $f$ este strict crescătoare.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții de forma unei fracții, trebuie să folosiți regula de derivare a unui cât de funcții.
a)
Formula generală pentru derivata unui cât este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Identificați $u (x)$ și $v (x)$ din funcția dată.
a)
Calculați derivatele $u^{'} (x)$ și $v^{'} (x)$ și înlocuiți-le în formula derivatei câtului, apoi simplificați expresia obținută pentru a ajunge la forma cerută.
b)
Ecuația tangentei la graficul unei funcții $f$ într-un punct de abscisă $x_{0}$ este dată de formula $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
b)
Pentru a aplica formula, trebuie să calculați valoarea funcției $f (x_{0})$ și valoarea derivatei $f^{'} (x_{0})$ în punctul dat, unde $x_{0} = 0$ .
b)
Determinați $f (0)$ și $f^{'} (0)$ folosind expresia funcției $f (x)$ și a derivatei $f^{'} (x)$ calculată la subpunctul a), apoi înlocuiți aceste valori în ecuația tangentei.
c)O funcție este strict crescătoare pe un interval dacă derivata sa este strict pozitivă pe acel interval.
c)
Analizați semnul derivatei $f^{'} (x) = \frac{x e ^{x} + 1}{( x + 1 ) ^{2}}$ pe intervalul $(- 1, + \infty)$ . Numitorul este întotdeauna pozitiv.
c)
Concentrați-vă pe semnul numărătorului $g (x) = x e^{x} + 1$ . Puteți studia această funcție auxiliară $g (x)$ (de exemplu, calculând derivata ei) pentru a-i determina semnul pe intervalul $(- 1, + \infty)$ .

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.