Matematică

Polinoame — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2026 · Varianta 2 · mate-info

Polinoame

Se consideră polinomul

f = m X^{4} - m X^{2} + X + 1

, unde

m

este număr real nenul.

a)
Arătați că $f (- 1) = 0$ , pentru orice număr real nenul $m$ .
b)
Determinați numărul real nenul $m$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X + 2$ este egal cu $11$ .
c)
Determinați numărul real nenul $m$ pentru care $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} + x_{4}^{3} = 1$ , unde $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ și $x_{4}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $f (- 1) = 0$ , trebuie să înlocuiți valoarea $x = - 1$ în expresia polinomului $f (X)$ .
a)
Substituiți $X = - 1$ în polinomul $f (X) = m X^{4} - m X^{2} + X + 1$ .
a)
Calculați $m (- 1)^{4} - m (- 1)^{2} + (- 1) + 1$ și simplificați expresia pentru a vedea dacă rezultatul este $0$ .
b)
Folosiți Teorema Restului pentru a determina restul împărțirii unui polinom $f (X)$ la un polinom de forma $X - a$ .
b)
Conform Teoremei Restului, restul împărțirii polinomului $f (X)$ la $X + 2$ este egal cu $f (- 2)$ .
b)
Calculați $f (- 2)$ și egalați rezultatul cu $11$ pentru a determina valoarea lui $m$ .
c)
Folosiți proprietatea că dacă $x_{i}$ este o rădăcină a polinomului $f (X)$ , atunci $f (x_{i}) = 0$ .
c)
Scrieți ecuația $f (x_{i}) = 0$ pentru fiecare rădăcină $x_{i}$ , apoi împărțiți la $x_{i}$ (presupunând $x_{i} \neq = 0$ ) și rearanjați termenii pentru a obține o expresie care conține $x_{i}^{3}$ . Sumați aceste expresii pentru toate cele patru rădăcini.
c)
Utilizați formulele lui Viète pentru a exprima $\sum x_{i}$ și $\sum \frac{1}{x _{i}}$ în funcție de coeficienții polinomului $f (X)$ , apoi înlocuiți aceste sume în ecuația obținută și rezolvați pentru $m$ .

Polinoame, din alte variante, de la ușor la greu.