Matematică

Polinoame, Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · mate-info

Polinoame

Se consideră polinomul

f = X^{3} - 2 X^{2} - a X + 2 a

, unde

a

este număr real.

a)
Arătați că $f (2) = 0$ , pentru orice număr real $a$ .
b)
Pentru $a = 1$ , arătați că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 1$ .
c)
Determinați $a \in (0, + \infty)$ pentru care $∣ x_{1} ∣ + ∣ x_{2} ∣ + ∣ x_{3} ∣ = 8$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $f (2) = 0$ , trebuie să înlocuiți valoarea $X = 2$ în expresia polinomului $f (X)$ .
a)
Calculați valoarea expresiei $f (2)$ prin substituirea lui $X$ cu $2$ în $f (X) = X^{3} - 2 X^{2} - a X + 2 a$ .
a)
Efectuați calculele: $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - a \cdot 2 + 2 a$ și observați cum termenii se anulează, indiferent de valoarea lui $a$ .
b)
Un polinom $f (X)$ este divizibil cu un polinom $g (X) = X - c$ dacă și numai dacă $f (c) = 0$ . Acesta este Teorema Factorului.
b)
În cazul nostru, $g (X) = X + 1$ , ceea ce înseamnă că $c = - 1$ . Prin urmare, trebuie să arătați că $f (- 1) = 0$ .
b)
Mai întâi, înlocuiți $a = 1$ în expresia polinomului $f (X)$ , obținând $f (X) = X^{3} - 2 X^{2} - X + 2$ . Apoi, calculați $f (- 1)$ .
c)
Folosiți informația de la subpunctul a) că $X = 2$ este o rădăcină a polinomului $f (X)$ . Acest lucru vă permite să factorizați polinomul.
c)
Polinomul $f (X)$ poate fi scris ca $f (X) = X^{2} (X - 2) - a (X - 2)$ . Factorizați $(X - 2)$ pentru a găsi celelalte două rădăcini din factorul pătratic rămas.
c)
Identificați cele trei rădăcini $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . Apoi, înlocuiți-le în ecuația $∣ x_{1} ∣ + ∣ x_{2} ∣ + ∣ x_{3} ∣ = 8$ și rezolvați pentru $a$ , ținând cont de condiția $a \in (0, + \infty)$ .

Polinoame, din alte variante, de la ușor la greu.