Matematică

Polinoame — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 9 · mate-info

Polinoame

Se consideră polinomul

f = X^{4} - 3 X^{3} + X^{2} - 2 X + m

, unde

m

este număr real.

a)
Pentru $m = 3$ , arătați că $f (1) = 0$ .
b)
Determinați numerele reale $m$ pentru care $(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4})^{2} - x_{1} - x_{2} - x_{3} - x_{4} = 1$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ și $x_{4}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .
c)
Pentru $m = 0$ , determinați numerele reale $a$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X - a$ este egal cu $a$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $f (1) = 0$ , trebuie să înlocuiești valoarea $X = 1$ în expresia polinomului.
a)
Mai întâi, înlocuiește $m = 3$ în polinomul $f$ , obținând $f = X^{4} - 3 X^{3} + X^{2} - 2 X + 3$ .
a)
Calculează apoi $f (1)$ prin substituția $X = 1$ în expresia polinomului cu $m = 3$ și verifică rezultatul.
b)Relațiile lui Viète sunt esențiale pentru a lega rădăcinile unui polinom de coeficienții săi.
b)
Pentru un polinom de gradul IV, suma rădăcinilor este $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - \frac{a _{3}}{a _{4}}$ , iar produsul rădăcinilor este $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = \frac{a _{0}}{a _{4}}$ .
b)
Identifică coeficienții $a_{4}, a_{3}, a_{0}$ din polinomul $f = X^{4} - 3 X^{3} + X^{2} - 2 X + m$ și înlocuiește aceste expresii în ecuația dată pentru a determina $m$ .
c)
Teorema lui Bézout (Teorema Restului) oferă o metodă directă de a găsi restul împărțirii unui polinom la un binom de forma $X - a$ .
c)
Conform Teoremei Restului, restul împărțirii polinomului $f (X)$ la $X - a$ este egal cu $f (a)$ .
c)
Pentru $m = 0$ , polinomul devine $f = X^{4} - 3 X^{3} + X^{2} - 2 X$ . Egalizează $f (a)$ cu $a$ și rezolvă ecuația rezultată pentru $a$ .

Polinoame, din alte variante, de la ușor la greu.