Matematică

Polinoame — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2026 · Varianta 7 · mate-info

Polinoame

Se consideră polinomul

f = X^{4} - X^{3} + a X^{2} + b X - 6

, unde

a

și

b

sunt numere reale.

a)
Pentru $a = 4$ și $b = 0$ , arătați că $f (- 1) = 0$ .
b)
Pentru $a = b = 1$ , determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X^{2} - X + 1$ .
c)
Determinați perechile $(a, b)$ de numere naturale pentru care două dintre rădăcinile polinomului $f$ sunt numere opuse.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a verifica dacă o valoare este rădăcină a unui polinom sau pentru a calcula valoarea polinomului într-un punct, trebuie să înlocuiți variabila polinomului cu acea valoare.
a)
Înlocuiți $a = 4$ și $b = 0$ în expresia polinomului $f (X)$ , apoi calculați valoarea $f (- 1)$ prin substituirea lui $X = - 1$ .
a)
Calculează $f (- 1) = (- 1)^{4} - (- 1)^{3} + 4 (- 1)^{2} + 0 (- 1) - 6$ și verifică dacă rezultatul este $0$ .
b)Pentru a determina câtul și restul împărțirii unui polinom la altul, se utilizează algoritmul de împărțire a polinoamelor.
b)
Efectuează împărțirea polinomului $f (X) = X^{4} - X^{3} + X^{2} + X - 6$ (cu $a = 1, b = 1$ ) la polinomul $g (X) = X^{2} - X + 1$ folosind metoda împărțirii lungi (euclidiene).
b)
Începe împărțirea prin a împărți termenul dominant al lui $f (X)$ la termenul dominant al lui $g (X)$ , adică $X^{4} / X^{2}$ .
c)
Dacă două dintre rădăcinile polinomului $f$ sunt numere opuse, să le notăm $x_{0}$ și $- x_{0}$ , atunci $f (x_{0}) = 0$ și $f (- x_{0}) = 0$ .
c)
Scrie ecuațiile $f (x_{0}) = 0$ și $f (- x_{0}) = 0$ . Adună și scade aceste două ecuații pentru a obține relații simplificate între $x_{0}$ , $a$ și $b$ .
c)
Vei obține $x_{0}^{4} + a x_{0}^{2} - 6 = 0$ și $x_{0} (- x_{0}^{2} + b) = 0$ . Din a doua relație, deduce o expresie pentru $b$ în funcție de $x_{0}^{2}$ (observă că $x_0
eq 0 $) ș i \overset{ı}{^} n l oc u i e ș t e \overset{ı}{^} n p r ima ec u a ț i e p e n t r u a g \overset{a}{˘} s i or e l a ț i e \overset{ı}{^} n t r e$ a $ș i$ b $. A p o i, ț in eco n t c \overset{a}{˘}$ a,b$ sunt numere naturale.

Exersează același capitol

Polinoame, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 13 exerciții din Polinoame →